Centrale Mathématiques 1 MP MPI 2024

On s'intéresse dans ce problème à une inégalité établie par Torsten Carleman : si est une suite de réels strictement positifs telle que converge, alors la série de terme général converge et

Le problème est constitué de trois parties largement indépendantes. La première partie commence en démontrant un analogue intégral de cette inégalité : l'inégalité de Knopp. La deuxième partie s'intéresse à la démonstration originale de l'inégalité de Carleman, utilisant du calcul différentiel. Enfin, la troisième partie étudie l'inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l'inégalité de Carleman.

Dans cette partie, on démontre l'inégalité de Knopp, souvent présentée comme analogue continu de l'inégalité de Carleman (on justifie cette appellation en fin de partie).

I.A.1) Inégalité intégrale de Jensen

Q 1. Soit une fonction continue par morceaux à valeurs dans un intervalle . Soit une fonction continue et convexe sur . Démontrer que

On pourra utiliser des sommes de Riemann.
I.A.2) Une autre inégalité intégrale

Soit , une fonction continue par morceaux, strictement positive et intégrable.
Pour tout , on pose

Q 2. Déterminer la limite de lorsque tend vers 0 .
Q 3. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
Notant la fonction indicatrice de , on pourra remarquer que .
Q 4. En déduire que l'intégrale converge et que

On pourra utiliser une intégration par parties.

Soit une fonction continue par morceaux, strictement positive, intégrable sur .
Q 5. Démontrer que, pour tout ,

On pourra remarquer que .
Q 6. En déduire que est intégrable sur et que

On suppose dans cette sous-partie que est une suite décroissante de réels strictement positifs. On note la fonction en escalier qui, pour tout , est égale à sur l'intervalle .
Q 7. Soit dans . Démontrer que la fonction définie sur par

est minimale pour .
Q 8. Démontrer que, pour tout dans ,

On pourra utiliser la question précédente.
Q 9. En déduire l'inégalité de Carleman dans le cas où est une suite décroissante.
Q 10. Expliquer comment on peut retirer l'hypothèse de décroissance.

On démontre dans cette partie l'inégalité de Carleman d'une manière indépendante de la partie I.
La sous-partie II.A établit l'inégalité arithmético-géométrique avec des méthodes de calcul différentiel qui permettent de se familiariser avec celles qui seront utilisées dans la sous-partie II.B pour démontrer l'inégalité de Carleman.
La sous-partie II.B est indépendante de II.A. L'inégalité arithmético-géométrique sera utilisée dans la partie III. Soit dans . On note l'ouvert . Son adhérence, notée , est .

Soit . On définit les fonctions et sur en posant, pour tout ,

On note le sous-ensemble de constitué des zéros de .
Q 11. On admet que et sont de classe sur . Donner l'expression de leur gradient en un point de .
Q 12. Démontrer que la restriction de à admet un maximum sur et que ce maximum est en fait atteint sur .

On pourra vérifier que est strictement positive en certains points de .
On note un élément de en lequel la restriction de à atteint son maximum.
Q 13. Démontrer qu'il existe un réel tel que, pour tout dans .
Q 14. Démontrer alors que, pour tout et en déduire l'inégalité arithmético-géométrique

On considère l'application de dans , définie par

On note l'application de dans , définie par

On admet que et sont toutes deux de classe sur .
On note l'ensemble .
Q 15. Déterminer le gradient de et le gradient de en tout point de .
Q 16. Démontrer que la restriction de à admet un maximum.
On admet que le maximum de est en fait atteint sur .
On note le maximum de sur et on note ( ) un point de en lequel il est atteint. Pour entre 1 et , on note .
Q 17. Démontrer qu'il existe un réel tel que

Q 18. En déduire que:
a) ;
b) pour tout dans , où

L'objectif des trois questions suivantes est de démontrer que . On suppose par l'absurde que .
Q 19. Vérifier que, pour tout dans .
Q 20. Démontrer que et que, pour tout dans .
On pourra démontrer, pour , que .
Q 21. Aboutir à une contradiction sur . En déduire que, pour tout dans , pour tout tels que ,

Q 22. En déduire l'inégalité de Carleman.

Le but de cette dernière partie est d'établir l'inégalité de Carleman-Yang, qui est un raffinement de l'inégalité de Carleman.

Soit la fonction définie par

On définit aussi la suite par

Q 23. Justifier que est prolongeable par continuité en 0 et préciser la valeur de son prolongement en 0 . On notera toujours ce prolongement.
Q 24. Démontrer que, pour tout dans . En déduire une inégalité sur le rayon de convergence de la série entière .
Q 25. Démontrer que, pour tout dans , où

puis que, pour tout dans ,

Q 26. Conclure alors que

Soit et deux suites de réels strictement positifs.
Q 27. Démontrer que

Q 28. En considérant , en déduire l'inégalité de Carleman-Yang :

Q 29. Démontrer que, pour tout dans . En quoi l'inégalité précédente est-elle un raffinement de l'inégalité de Carleman?