Ce problème introduit le calcul ombral et propose d'en démontrer certains résultats.
Historiquement, ce «calcul» reposait sur un ensemble de manipulations heuristiques sur les indices qui étaient traités comme des puissances. Pour justifier ces règles, une solution consiste à utiliser des endomorphismes agissant sur des polynômes. Ce problème a pour objectif de présenter ces règles et d'en déduire des identités polynomiales non triviales.

Notations

désigne ou .
désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans . Dans ce problème, on identifie polynômes formels et fonctions polynomiales de dans associées. On identifie de plus les éléments de aux polynômes constants.
Tout polynôme s'écrit de manière unique

où (

) est une suite à valeurs dans

nulle à partir d'un certain rang. Si

n'est pas le polynôme nul, son degré

est le plus grand entier

tel que

. Par convention, le degré du polynôme nul est -1 (cette convention est inhabituelle).

Si est un entier naturel, désigne le sous-espace vectoriel de des polynômes de degré inférieur ou égal à .
On note l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel .
On note l'endomorphisme identité de .
Les éléments inversibles de l'algèbre sont les endomorphismes bijectifs (automorphismes) de l'espace vectoriel .
Pour et , on note .
désigne l'endomorphisme de dérivation sur .
Si est un endomorphisme de , on définit la suite d'endomorphismes ( ) par récurrence : et, pour tout .

I Étude d'endomorphismes de

Soit

. Pour tout

, on pose

.
Q 1. Montrer que

est un automorphisme de

.
I.B - À tout

, on associe la fonction

dans

définie par

Q 2. Montrer que

est un endomorphisme de

.
Q 3.

Montrer que

conserve le degré et que

est inversible.
I.

À tout

, on associe la fonction

dans

définie par

Q 4. Montrer que

existe pour tout

et calculer sa valeur.
Q 5. Montrer que

est un endomorphisme de

. Est-il inversible ?

II Formule de Taylor pour les endomorphismes shift-invariants de

Soit

un endomorphisme de

. On dit que:

est shift-invariant si, pour tout ;
est un endomorphisme delta si est shift-invariant et si l'image du polynôme par est une constante non nulle : .

II.A -

Q 6. Soit

. Vérifier que les endomorphismes

sont shift-invariants, ainsi que les endomorphismes

définis dans la partie I. Sont-ils des endomorphismes delta?
Q 7. Montrer que l'ensemble des endomorphismes shift-invariants de

est une sous-algèbre de

. L'ensemble des endomorphismes delta de

est-il stable par addition? par composition?

II.B -

Q 8. Soit

une suite d'éléments de

. Pour tout polynôme

, montrer que l'expression

a un sens et définit un polynôme de

.
On note alors

l'application de

qui, à un polynôme

, associe le polynôme

.
Q 9. Montrer que, pour toute suite

d'éléments de

est un endomorphisme shift-invariant.
Q 10. Soit

des suites d'éléments de

telles que

.
Montrer que, pour tout

.
Pour tout

, on définit le polynôme

. On se donne

un endomorphisme de

.
Q 11. Montrer que

est un endomorphisme shift-invariant si, et seulement si,

Q 12. Montrer que deux endomorphismes shift-invariants de

commutent.
II.

- Dans cette sous-partie, on applique le résultat de la question 11 aux endomorphismes de la partie I.

Q 13. Pour tout

non nul et

, montrer, à l'aide de la question 11, que

où

désigne la dérivée

-ième du polynôme

. Reconnaitre cette formule.
Q 14. Pour

, exprimer

en fonction des dérivées

.
Q 15. Démontrer que l'endomophisme

est inversible et exprimer

en fonction de

.
II.D - Dans cette sous-partie,

est un endomorphisme non nul shift-invariant de

On rappelle que le degré du polynôme nul est par convention égal à -1 .
Q 16. Montrer qu'il existe un entier naturel

tel que, pour tout polynôme

Q 17. En déduire

en fonction de

Q 18. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes:
(1)

est inversible ;
(2)

;
(3)

Q 19. Si ces conditions sont vérifiées, montrer que

est encore un endomorphisme shift-invariant.
II.

- Dans cette sous-partie,

est un endomorphisme delta de

Q 20. Montrer qu'il existe une suite de scalaires

vérifiant

.
Q 21. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme

shift-invariant et inversible tel que

. Préciser

dans le cas

, puis dans le cas

.
Q 22. Pour tout polynôme

non nul, vérifier que

. En déduire

et le spectre de

.
Q 23. Pour

, on note

la restriction de

. Montrer que

est un endomorphisme de

. Est-il diagonalisable?
Q 24. Déterminer

en fonction de

et en déduire que

est surjectif.

III Suite de polynômes associée à un endomorphisme delta

On souhaite montrer que, pour tout endomorphisme delta Q , il existe une unique suite de polynômes

telle que

;

.
Cette suite sera appelée suite de polynômes associée à l'endomorphisme delta

.
III.A - Soit

un endomorphisme delta.

Q 25. Montrer l'existence et l'unicité de la suite

de polynômes associée à

.
Q 26. Montrer que, pour tout entier naturel

III. B - Réciproquement, soit

une suite de polynômes de

telle que

Q 27. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme delta

dont

est la suite de polynômes associée.
III.

- Soit

un endomorphisme delta, soit

la suite de polynômes associée à

et soit

un entier naturel.
Q 28. Montrer que la famille

est une base de

.
Q 29. D'après la question 23,

induit un endomorphisme de

noté

. Donner sa matrice dans la base précédente. En déduire sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique.
III.D - Dans cette sous-partie, on détermine la suite

de polynômes associée à certains endomorphismes.
Q 30. Pour

, vérifier que

Q 31. Pour

, vérifier que

III.E - Cette sous-partie propose de généraliser la formule de Taylor démontrée dans la partie II. On se donne

un endomorphisme delta et on note

la suite de polynômes associée à

.
Q 32. Démontrer que, pour tout

, l'expression

a un sens et définit un polynôme de

, puis que

Q 33. En déduire que, pour tout endomorphisme shift-invariant

, on a

III.F -

Q 34. En choisissant

, démontrer que, si

est un polynôme non constant, alors

C'est la formule de dérivation numérique des polynômes.

IV Un peu de calcul ombral

est un endomorphisme de

on définit sa dérivée de Pincherle, notée

, comme l'endomorphisme de

tel que,

IV.A - Soient

deux endomorphismes de

Q 35. Montrer que, s'il existe

suite de scalaires telle que

, alors

.
Q 36. Si

est un endomorphisme shift-invariant, montrer que

est encore un endomorphisme shift-invariant.
Q 37. Si

est un endomorphisme delta, montrer que

est un endomorphisme shift-invariant et inversible.
Q 38. Vérifier que

.
IV.B - Soit

un endomorphisme delta. On rappelle que d'après la partie II, il existe un unique endomorphisme

shift-invariant et inversible tel que

. On note

la suite de polynômes associée à

au sens de la partie III.
Q 39. Démontrer que, pour tout

, on a

Q 40. En déduire que, pour tout

puis que

IV.C - Dans cette sous-partie, on applique les résultats de la question 40 à l'endomorphisme

étudié dans les parties I et II. On note

sa suite de polynômes associée au sens de la partie III.
Q 41. Vérifier que, pour

IV.D - Soient

un endomorphisme delta de suite de polynômes associée notée

Q 42. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme inversible

tel que

Q 43. Montrer aussi que

.
IV.E - On fixe

et on définit la fonction

par

Q 44. Montrer que

est un automorphisme de

.
On pose

où

est l'endomorphisme étudié dans les parties I et II.
Q 45. Montrer que

Q 46. Montrer ensuite que

est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée

vérifie

Q 47. Vérifier que

puis que

.
On note

l'unique automorphisme vérifiant, pour tout

et on pose

.
Q 48. Montrer que

. En déduire que

est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée

vérifie

Q 49. Conclure que

Les endomorphismes

étudiés dans la sous-partie IV.E sont appelés opérateurs ombraux. Les polynômes

associés à l'endomorphisme

sont connus sous le nom de polynômes de Laguerre (de paramètre -1 ). La dernière formule démontrée grâce aux opérateurs ombraux est leur formule de duplication.