CCINP Physique TSI 2010

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Opérateurs mathématiques en coordonnées cartésiennes dans le repère cartésien orthonormé direct .

Divergence :

Rotationnel :

Laplacien d'un champ scalaire :

Laplacien d'un champ vectoriel :

Relations concernant les opérateurs mathématiques:

Trigonométrie:

Dans l'ensemble du problème, on se place dans l'espace rapporté à un repère cartésien orthonormé .
On désignera par la permittivité diélectrique du vide et par la perméabilité magnétique du vide.

1 - Rappeler l'expression des équations de Maxwell dans un milieu non chargé, non conducteur et assimilable au vide.
Déduire des équations de Maxwell les équations de propagation vérifiées dans un milieu non chargé, non conducteur et assimilable au vide par le champ électrique et par le champ magnétique .

2 - Expliquer ce qu'est une onde plane.
3 - On considère une onde électromagnétique pour laquelle l'expression du champ électrique est donnée en coordonnées cartésiennes par la formule : où est une constante positive, est la pulsation de l'onde (constante), la célérité de la lumière dans le vide et le temps.
3.1 - Montrer que l'expression précédente du champ électrique correspond bien à celle d'une onde plane dont on précisera la direction et le sens de propagation.
Montrer que cette onde vérifie l'équation de propagation déterminée à la question 1 à condition que et soient reliés par une relation que l'on déterminera.
3.2 - En exploitant le fait que cette onde est plane ou en utilisant une des équations de Maxwell rappelée dans la question 1 , déterminer l'expression du champ magnétique de cette onde en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera.
4.1 - Donner l'expression du vecteur de Poynting associé à une onde électromagnétique ( ). Quelle est la signification physique de ce vecteur ? Quelle est l'unité du système international qui lui correspond?
4.2 - Déterminer l'expression du vecteur de Poynting relatif à l'onde plane considérée. On exprimera en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera. Déterminer la valeur moyenne au cours du temps. On exprimera en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera.

5 - L'onde arrive sur une cellule détectrice placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde. Soit la puissance moyenne reçue par la cellule détectrice de surface . Déterminer l'expression de en fonction de et .

6 - Comment doit-on placer une antenne filaire (segment métallique) pour détecter le champ électrique ? Justifier clairement votre raisonnement.

7 - L'onde est maintenant détectée par un cadre conducteur rectiligne formant un carré de coté , fermé sur un voltmètre et placé dans le plan comme indiqué sur la figure ci-dessous (page 4/14).
Le cadre est arbitrairement orienté comme représenté sur la figure de sorte que sa normale est colinéaire à .

Le centre du cadre est à l'abscisse et les brins verticaux aux abscisses et .

On se place dans le cas où la longueur du côté du cadre est telle que le champ magnétique ne peut pas être considéré comme uniforme sur la surface du cadre.
7.1 - Calculer le flux du champ magnétique à travers le cadre à un instant en fonction de , et .
En déduire l'expression de la force électromotrice induite dans le cadre en fonction de , et .
7.2 - Le voltmètre mesure une tension efficace , déterminer l'expression de en fonction de et .

8 - La valeur de étant donnée, montrer qu'il existe des valeurs de pour lesquelles l'amplitude de la force électromotrice induite est maximale et d'autres valeurs pour lesquelles elle est nulle. Déterminer et en fonction de et .

Une onde électromagnétique à polarisation rectiligne se propage dans le vide dans la direction (Oz), dans le sens des croissants.
Le champ électrique de l'onde est donné par l'expression : où est une constante positive, est la pulsation de l'onde (constante), la célérité de la lumière dans le vide et le temps.
En , l'onde arrive sur la surface plane d'un miroir métallique parfaitement conducteur et ne comportant initialement aucune charge électrique. Le miroir occupe le plan . On admet que les champs électrique et magnétique sont nuls à l'intérieur du miroir.
On admet que l'onde incidente donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des décroissants.

9.1 - Ecrire les conditions aux limites que doivent vérifier les champs électrique et magnétique en . On précisera clairement la signification des différents termes ainsi que les vecteurs unitaires utilisés.
En déduire l'expression de en fonction de .
9.2 - En déduire l'expression du champ électrique résultant de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie dans le demi-espace . On exprimera en fonction de , et d'un vecteur unitaire que l'on précisera.
Caractériser l'onde résultante.
10 - En utilisant les équations de Maxwell ou les propriétés des ondes électromagnétiques planes, déterminer le champ magnétique incident , puis le champ magnétique réfléchi . En déduire le champ magnétique résultant de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie dans le demi-espace . On exprimera et en fonction de et de vecteurs unitaires que l'on précisera.

11 - Déterminer l'expression du vecteur de Poynting de l'onde résultante ainsi que sa valeur moyenne . Commenter.

On étudie une onde électromagnétique, stationnaire, plane, monochromatique, à polarisation rectiligne entre deux plans métalliques parfaitement conducteurs, parallèles, d'équations respectives et .
Le champ électrique de l'onde considérée s'écrit sous la forme où est une constante positive, est une fonction qui ne dépend que de est la pulsation de l'onde (constante) et le temps.

12 - Justifier le fait que l'onde ainsi étudiée est une onde plane et stationnaire.
13 - On admet que les champs électrique et magnétique et sont nuls dans un métal parfaitement conducteur. En utilisant les conditions aux limites que doit vérifier le champ (rappelées à la question 9.1 de la partie précédente), déterminer les valeurs limites et de la fonction quand tend vers 0 par valeurs supérieures et quand tend vers par valeurs inférieures.

14 - En sachant que le champ électrique vérifie l'équation de propagation déterminée dans la première partie, déterminer l'équation différentielle du second ordre vérifiée par la fonction .

15 - Par intégration de l'équation différentielle précédente et en prenant en compte les conditions aux limites obtenues dans la question 13, déterminer, à une constante multiplicative près, la fonction en fonction de .
En déduire que la pulsation ne peut prendre que des valeurs discrètes que l'on déterminera en fonction de et .

La troisième partie de ce problème est indépendante des deux premières.
On considère dans ce problème que la Terre possède une répartition de masse à symétrie sphérique, de centre O , de masse et de rayon . On pourra donc considérer que le champ gravitationnel créé par la Terre en un point M , extérieur à la Terre, est identique à celui créé par une masse ponctuelle placée en O.

1 - On se place en un point M de l'espace, extérieur à la Terre et situé à une distance du centre de celle-ci.
On notera la constante de gravitation universelle.
Rappeler l'expression du champ gravitationnel créé par la Terre en un point M de l'espace.
On exprimera en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera.
Représenter le vecteur sur un schéma.

On étudie le mouvement autour de la Terre d'un satellite S de masse placé dans le champ gravitationnel terrestre.
On néglige les frottements.

2 - On se place dans le référentiel, considéré comme galiléen, qui a pour origine le centre de la Terre et ses trois axes dirigés vers trois «étoiles fixes». Quel est le nom de ce référentiel ?
Déterminer l'expression de la force à laquelle le satellite S est soumis. On exprimera en fonction de et d'un vecteur unitaire que l'on précisera.

Déterminer de même l'expression de la force à laquelle la Terre est soumise de la part du satellite. Justifier.

3 - En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement du satellite S est nécessairement plan.
Sachant qu'à l'instant le satellite se trouve au point et a une vitesse , préciser le plan dans lequel se fait le mouvement.

Dans la suite de cette partie, on se placera dans le cas d'une trajectoire circulaire de rayon et d'altitude autour de la Terre (avec ) et on utilisera les coordonnées cylindriques.

L'espace est rapporté à la base cylindrique ( ), un point quelconque de l'espace étant repéré par ses coordonnées ( ).
Le plan dans lequel se fait le mouvement du satellite est le plan du repère cylindrique contenant l'origine O du repère (le point O étant le centre de la Terre) et les vecteurs ( ).
On rappelle que le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans la base cylindrique ( ) sont donnés par les expressions suivantes :

4 - En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que le module de la vitesse du satellite est nécessairement constant au cours du mouvement et déterminer son expression en fonction de et .

5 - Déterminer l'expression de la période du mouvement de rotation de S autour de la Terre en fonction de et de puis en fonction de et . En déduire la troisième loi de Képler.

6 - Indiquer une méthode pour déterminer la masse de la Terre.
Donner sans justification l'ordre de grandeur de la masse de la Terre.
7 - Un autre satellite S', de masse m', en orbite circulaire autour de la Terre a une trajectoire de rayon égal au rayon de la trajectoire de S . Les deux satellites tournent dans le même plan.
S et S' risquent-ils de se heurter au cours de leur mouvement? On justifiera la réponse apportée.

La force à laquelle le satellite S est soumis dérive d'une énergie potentielle telle que peut s'écrire sous la forme avec constante positive. On prendra par convention une énergie potentielle nulle à l'infini.
On ne se limitera pas dans cette partie à un mouvement circulaire, mais on se placera dans le cas d'un mouvement quelconque du satellite autour de la Terre.

On notera la constante des aires donnée par .
8 - Déterminer l'expression de en fonction des données du problème.

9 - Déterminer l'expression de l'énergie mécanique du satellite S en fonction de et .
En déduire l'expression de l'énergie potentielle effective du satellite en fonction de et . Donner l'allure de la représentation graphique de l'énergie potentielle effective en fonction de . En exploitant cette courbe, indiquer en fonction de la valeur de l'énergie mécanique le type de trajectoire suivie par le satellite et préciser dans chaque cas s'il s'agit d'un état de diffusion ou d'un état lié.

10 - Déterminer l'énergie mécanique associée à une trajectoire circulaire de rayon en fonction de et .
Déterminer la première vitesse cosmique , vitesse du satellite sur une orbite basse de rayon autour de la Terre en fonction de et .

Un expérimentateur désire mesurer l'intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la Terre. Il va pour cela utiliser tour à tour deux types différents de pendule.

Un pendule est composé par un solide de masse , de centre d'inertie G , mobile autour d'un axe horizontal ( ) et de moment d'inertie par rapport à l'axe ( ).
Il peut effectuer des mouvements de rotation dans le plan vertical (Oxy), autour de l'axe horizontal (Oz).
La position du pendule est repérée par l'angle entre la droite (OG) et la verticale descendante. On notera la distance OG.

L'étude sera menée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
Les frottements au niveau de l'axe de rotation et les frottements de l'air seront négligés.
Le pendule ainsi décrit se trouve dans le champ de pesanteur terrestre caractérisé par le vecteur tel que .

11 - En appliquant le théorème du moment cinétique, déterminer l'équation différentielle vérifiée par l'angle au cours du temps. En déduire la période des petites oscillations du pendule autour de sa position d'équilibre, repérée par . On exprimera en fonction de et .

12 - On souhaite étudier l'influence d'une variation d'intensité du champ de pesanteur sur la période du pendule. Pour cela, on définit la sensibilité du pendule comme le rapport où représente une variation infiniment petite de la période du pendule engendrée par une variation infiniment petite du champ de pesanteur.
Déterminer l'expression de la sensibilité en fonction de et .

Le pendule précédent est maintenant soumis à l'action d'un ressort spiral qui exerce un couple de rappel sur le pendule où est une constante positive.
La position du pendule est repérée par l'angle entre la droite ( OG ) et la verticale ascendante.

On notera la distance OG .
L'étude sera menée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.
Les frottements au niveau de l'axe de rotation et les frottements de l'air seront négligés.
Le pendule ainsi décrit se trouve dans le champ de pesanteur terrestre caractérisé par le vecteur tel que .

L'énergie potentielle du ressort spiral ne dépend que de l'angle et de la constante et est donnée par l'expression .

13 - Exprimer l'énergie mécanique totale du système pendule-ressort en fonction de , et .

Sachant que le système est conservatif, en déduire l'équation différentielle du mouvement vérifiée par l'angle .

14 - En considérant que l'angle reste petit, déterminer la condition à vérifier pour que la position soit une position d'équilibre stable d'un oscillateur harmonique. La relation sera donnée sous forme d'une relation entre et .
Déterminer dans ce cas la période des petites oscillations du pendule autour de la position . On exprimera en fonction de et .

15 - On considère que la condition de la question précédente est vérifiée.
On souhaite étudier la sensibilité de ce pendule à une variation du champ de pesanteur.
On définit, tout comme précédemment, par le rapport où représente une variation infiniment petite de la période du pendule engendrée par une variation infiniment petite du champ de pesanteur.
Déterminer l'expression de la sensibilité en fonction de et .
16 - Montrer que l'on peut choisir la constante de telle sorte que le deuxième pendule soit plus sensible que le premier et permette ainsi de détecter des variations plus faibles du champ de pesanteur terrestre. Exprimer cette condition sous forme d'une relation entre et .

Dans tout le problème, représente la permittivité diélectrique de l'air, égale à celle du vide.

1 - Enoncer le théorème de Gauss relatif au flux sortant du champ électrostatique à travers une surface fermée contenant la charge électrique .
Donner l'expression de l'équation de Maxwell qui permet de démontrer le théorème de Gauss.

2 - On considère un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique positive.
En considérant les propriétés de symétrie de la distribution de charges, montrer que le champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique est orthogonal au plan.
Démontrer que est tel que sa norme vaut . Représenter sur un schéma le vecteur de part et d'autre du plan. On indiquera avec précision la surface de Gauss choisie.

3 - Soit un condensateur plan constitué par deux plans infinis, parallèles, uniformément chargés et séparés par une distance . Le plan supérieur étant chargé avec une densité surfacique positive et le plan inférieur étant chargé avec une densité .

3.1 - En utilisant le théorème de superposition, déduire de la question précédente le champ électrostatique en tout point de l'espace.
3.2 - Déterminer la différence de potentiel entre les deux plans du condensateur. On exprimera en fonction de et . Identifier clairement, en le justifiant, le plan dont le potentiel est le plus élevé.
3.3 - Définir et déterminer la capacité du condensateur par unité de surface. On exprimera en fonction de et .

4 - On introduit entre les deux plaques du condensateur plan précédent une plaque métallique parallélépipédique d'épaisseur parallèle aux armatures du condensateur. L'épaisseur est donc une grandeur finie, mais on considère que les autres dimensions de la plaque métallique sont infinies.

On admet que le champ électrostatique est nul à l'intérieur du métal.
Justifier le fait qu'il apparaîtra des charges électriques sur les surfaces supérieure et inférieure ' de la plaque métallique. Déterminer le signe de ces charges. On pourra s'aider d'un schéma succinct.

5 - En utilisant le théorème de Gauss sur une surface que l'on précisera, déterminer les densités surfaciques de charge et , qui apparaissent sur les surfaces P et P ' de la plaque métallique. Exprimer et , en fonction de .
6.1 - Déterminer la valeur du champ électrostatique en un point du condensateur extérieur à la plaque métallique (entre P et d'une part et entre P ' et ' d'autre part).
En déduire la différence de potentiel entre les deux armatures du condensateur. On exprimera en fonction de et .
6.2 - En déduire la capacité surfacique du condensateur ainsi obtenu. On exprimera en fonction de et . Conclure quant à l'influence de la plaque métallique sur la capacité surfacique du condensateur.

On considère un condensateur cylindrique composé de deux armatures coaxiales de hauteur et de rayons respectifs et avec et placées dans l'air. L'armature interne porte la charge électrique . L'armature externe porte une charge totale .
Les potentiels électriques des armatures sont respectivement et . Soit un point M situé à la distance de l'axe: . K est la projection orthogonale du point M sur l'axe du condensateur.

Soit le vecteur unitaire de la droite (KM) dirigé de K vers M.
On admettra que le champ électrostatique créé au point M est radial et sa norme ne dépend que de . On peut donc écrire : .
On néglige les effets de bord.
7 - En appliquant le théorème de Gauss à une surface que l'on précisera, déterminer l'expression de . On exprimera en fonction de et . On distinguera les cas selon que , ou .

8 - En déduire le potentiel à une distance de l'axe lorsque . On exprimera en fonction de et . En déduire la différence de potentiel entre les deux armatures du condensateur en fonction de et .

9 - Déterminer la capacité du condensateur en fonction de et .
10 - On peut associer au champ électrostatique une densité volumique d'énergie égale à . En utilisant l'expression de déterminée précédemment et en intégrant l'expression de déterminer l'énergie accumulée par le condensateur. On exprimera en fonction de , et . En déduire l'expression de en fonction de et .

11 - En effectuant un développement limité de l'expression de la capacité déterminée à la question 9, montrer que si les rayons des armatures sont très proches, c'est-à-dire si , le condensateur cylindrique est équivalent à un condensateur plan dont on précisera les caractéristiques.