CCINP Physique PSI 2010

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée.

Aucune connaissance musicale n'est requise pour traiter ce problème.
Dans tout ce problème, représente la constante des gaz parfaits.
La clarinette a été créée vers 1700 par Johann Christophe Denner à Nuremberg. La clarinette en Si bémol en est le modèle le plus commun (figure 1). Le tube de la clarinette est modélisé par un cylindre de longueur , fermé du côté de l'embouchure (à gauche) et ouvert du côté du pavillon (à droite). Il s'agit d'une approximation grossière qui a le mérite de préserver les caractéristiques physiques les plus importantes. En réalité, le tube de la clarinette n'est pas à section constante et le traitement mathématique est alors beaucoup plus compliqué...

Le saxophone a été breveté en 1846 par Adolphe Sax, en Belgique. Parmi les modèles utilisés aujourd'hui, on trouve le saxophone soprano en Si bémol (figure 2). Le saxophone est ouvert du côté du pavillon (à droite), mais il est quasiment fermé de l'autre coté (à gauche). Le tube du saxophone est approximativement conique. Nous allons modéliser le tube du saxophone soprano par un simple tuyau conique de longueur un peu plus grande que celle de la clarinette (soit ) et d'angle au sommet .

On considère un tube indéformable de longueur , d'axe de révolution ( ) rempli d'air, supposé être un gaz parfait à la température moyenne ambiante et à la pression . Soit la masse volumique moyenne de cet air. La section transverse du tube est une fonction de l'abscisse : soit cette section (figure 3).

En présence de l'onde sonore, le champ de vitesse de l'air est le suivant: où est faible.
On note la masse volumique de l'air à l'instant et à l'abscisse .
On supposera qu'en présence de l'onde sonore, la masse volumique de l'air s'écrit où et que la pression de l'air s'écrit avec .

On s'intéresse à l'air compris entre les sections d'abscisses et . Ce système est ouvert.
A. 1 Exprimer la masse de ce système à l'instant en fonction de notamment. Même question pour l'instant .
A. 2 Exprimer la masse de fluide entrant dans le système pendant la durée en fonction de et . Exprimer aussi la masse de fluide sortant du système pendant la même durée.
A. 3 En se limitant à des termes du premier ordre, montrer que l'on obtient l'équation de conservation de la masse suivante : .

On rappelle l'équation d'Euler régissant la dynamique des fluides parfaits :

A. 4 On appelle la durée caractéristique de variation temporelle de la vitesse, la distance caractéristique de variation spatiale de la vitesse et l'ordre de grandeur caractéristique de la vitesse particulaire. A quelle condition sur peut-on négliger le terme devant le terme ?
A. 5 A l'aide d'un développement limité à l'ordre 1 , exprimer la quantité en fonction de .
A. 6 On rappelle que le coefficient de compressibilité isentropique est égal à . Toujours à l'aide d'un développement limité à l'ordre 1 , établir une relation entre et .

A. 7 En combinant les résultats de A.3, A. 5 et A.6, montrer que :

Préciser l'expression de la constante en fonction de et de .
A. 8 En supposant que l'air est un gaz parfait, exprimer en fonction de la masse molaire de l'air notée , de la pression , de la température et de la constante des gaz parfaits .
A. 9 En supposant que l'air dans le tube subit une transformation isentropique, la loi de Laplace est vérifiée. Rappeler cette loi reliant les grandeurs pression et masse volumique . On introduira le coefficient d'atomicité où et sont les capacités thermiques molaires de l'air respectivement à pression constante et à volume constant. Exprimer alors en fonction de et de .
A. 10 Donner alors l'expression de la constante en fonction de la température , de la masse molaire de l'air , de la constante des gaz parfaits et du coefficient .
Faire l'application numérique avec et correspondant à une température de .

Tous les trous de la clarinette sont bouchés. La clarinette est alors modélisée par un tube cylindrique de section constante.
A. 11 Que deviennent les équations E1 et E2 obtenues à la question A. 7 dans le cas de la clarinette? Que représente alors la constante ?
A. 12 Que valent la vitesse en et la surpression en ?
A. 13 On recherche des solutions stationnaires pour la surpression et la vitesse qui sont donc de la forme et . Montrer que les fonctions et doivent être solutions d'une équation différentielle à préciser.
A. 14 On montre alors que la vitesse est une fonction du type où est l'amplitude.
Préciser l'expression de . Vérifier que la condition limite en est vérifiée.
A. 15 Déterminer alors complètement la fonction à l'aide des grandeurs et (on pourra se servir de la question A.5). En déduire aussi que seules des ondes stationnaires de pulsations bien particulières peuvent exister dans la clarinette.
A. 16 Donner l'expression de la fréquence du mode fondamental existant dans la clarinette en fonction de et . Donner aussi l'expression de la fréquence du premier harmonique.
A. 17 La musique occidentale est basée sur la gamme tempérée chromatique suivante :

Do Do# Ré Ré# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si Do
Quand on passe du premier Do au deuxième Do, on dit qu'on est passé à l'octave (la fréquence de la note émise est multipliée par 2). En admettant qu'entre deux notes consécutives la fréquence est toujours multipliée par le même facteur a, évaluer ce facteur en l'écrivant sous la forme d'une puissance de 2.
A. 18 Sur la clarinette, il existe une clé au niveau du pouce appelée clé de douzième qui permet d'enlever l'émission du mode fondamental, mais qui ne compromet pas l'émission du premier harmonique. Quand tous les trous de la clarinette sont bouchés et que l'on n'active pas la clé au niveau du pouce, on émet un son grave qui correspond à Ré (son réel entendu par une oreille). On active la clé, on émet alors un son plus aigu: par combien est multipliée la fréquence? En déduire la note réelle entendue par une oreille.

Tous les trous du saxophone sont bouchés. Le saxophone soprano est formé par un tube conique de hauteur , d'origine O et d'angle au sommet .
A. 19 Calculer la section en fonction de et de .
A. 20 Montrer alors que l'équation E. 1 obtenue à la question A. 7 s'écrit aussi :

A. 21 On effectue le changement de variable suivant: . Préciser l'équation vérifiée par . Quelles sont les conditions aux limites (en puis en ) pour ?
A. 22 On recherche une solution stationnaire pour sous la forme .

Préciser l'équation vérifiée par .
A partir des conditions aux limites, montrer que est de la forme .
En déduire que seules des ondes stationnaires de pulsations particulières à déterminer peuvent être engendrées dans le saxophone.
A. 23 Tous les trous du saxophone sont bouchés : tout le tube est alors le siège d'une onde stationnaire. Donner l'expression de la fréquence du mode fondamental existant dans le saxophone soprano en fonction de et . Donner aussi l'expression de la fréquence du premier harmonique. Comparer au cas de la clarinette.

FIN DU PROBLEME A

Le magnétron est un tube à vide (figure 4) sans grille d'arrêt, avec une cathode centrale, placée au potentiel , chauffée par un filament, et une anode concentrique placée au potentiel dans laquelle sont creusées plusieurs cavités résonantes. Des électrons (de charge et de masse ) sont émis par la cathode sans vitesse initiale. Un champ magnétique axial, est créé par deux aimants permanents placés à chaque extrémité du tube. Le parcours (du fait du champ magnétique) des électrons se fait à une fréquence accordée aux cavités résonantes. On travaillera en cordonnées cylindriques , dans un plan à ordonnée z constante et on négligera les interactions entre les électrons. On note le rayon de l'anode, le rayon de la cathode, et on pose (pulsation de Larmor).
B. 1 Préciser le signe du potentiel pour pouvoir accélérer les électrons. On admet que le potentiel entre l'anode et la cathode ne dépend que de . En déduire l'expression du champ électrique, , en fonction de .
B. 2 Ecrire sous forme vectorielle, l'équation différentielle du mouvement d'une particule de charge dans les champs et .
B. 3 En partant du vecteur position , démontrer les expressions de la vitesse et de l'accélération en coordonnées polaires.
B. 4 En déduire les projections de l'équation différentielle de la question suivant et .
B. 5 Vérifier que .
B. 6 Que vaut pour ? En déduire en fonction des variables et .
B. 7 Préciser l'énergie mécanique d'un électron en fonction des variables et . En déduire en fonction des variables et du potentiel .
B. 8 Si le champ magnétique est trop élevé, les électrons ne parviendront pas jusqu'à l'anode : on dit qu'on a atteint la coupure. Quelle doit être alors la valeur maximale du champ magnétique pour que les électrons atteignent l'anode? On exprimera cette valeur minimale en fonction des variables et .

Les cavités du magnétron sont analogues en radiofréquence à un circuit résonant LC. On ne considérera plus ici le faisceau électronique, et on s'intéressera seulement à la propagation sur une ligne électrique. Dans un plan de coupe du magnétron, la cathode est parfaitement circulaire, alors que l'anode est formée de N cavités régulièrement espacées. On peut donner dès lors un schéma équivalent de la ligne en tant que structure périodique comprenant des cavités résonantes identiques et équidistantes.

Le schéma développé en ligne est donné par la figure 5. Les composants (L,C) représentent la cavité résonante et , la capacité séparant l'anode et la cathode:

B. 9 Trouver une relation entre et , la pulsation, et les valeurs des composants.
B. 10 On cherche une solution de la forme , où est le nombre imaginaire pur tel que et où . En déduire le cosinus du déphasage entre deux résonateurs sous la forme .
B. 11 Compte tenu que la ligne circulaire est refermée sur elle-même, en déduire une condition sur en fonction de N et d'un entier, . Préciser les valeurs prises par donnant des solutions distinctes.
B. 12 En déduire les pulsations de résonance, .

Un guide d'onde permet de guider les ondes vers la cavité du four. On considère un guide de section rectangulaire avec (figure 6) dont la paroi est supposée parfaitement conductrice.

On rappelle les équations de Maxwell dans le vide :
(1)
(2)
(3)
(4)
avec et où est la célérité de la lumière dans le vide.
On rappelle également :
B. 13 Etablir l'équation de propagation vérifiée par le champ magnétique .
B. 14 Rappeler quelles sont les composantes des champs qui sont continues à la surface d'un conducteur.
B. 15 On recherche des solutions décrivant des ondes progressives dans la direction Oz de l'axe du guide. Ces solutions sont du type : et où est le module du vecteur d'onde et est le nombre imaginaire pur tel que .
Ecrire, en les justifiant, les conditions aux limites pour , sur la surface du guide pour :

On note , les amplitudes complexes des composantes des champs.
B. 16 On note . En déduire et en fonction de et .
B. 17 On étudie maintenant les solutions du type TE (transversale électrique) pour lesquelles . Exprimer et en fonction de , .
En déduire que et où que l'on précisera. En déduire à l'aide de B.16, que les composantes complexes du champ magnétique vérifient et .
B. 18 En déduire à partir de , les composantes du champ électrique et en fonction des dérivées de . Conclure.
B. 19 Une solution de la forme , où , est recherchée. Vérifier que cette solution satisfait aux conditions aux limites vues en B.15.
B. 20 En déduire l'équation vérifiée par le nombre d'onde en fonction de . En déduire que seules les fréquences supérieures à peuvent se propager. On précisera . Que se passe-t-il dans le cas contraire?
B. 21 Le four à micro-ondes annonce une fréquence . Quelle serait la longueur d'onde dans le vide? On donne la vitesse de la lumière
B. 22 Les dimensions du guide d'onde rectangulaire sont respectivement et . Quels sont les modes susceptibles de se propager ?
B. 23 Quelle est alors la valeur numérique de et de la vitesse de phase ? Commentaire.
B. 24 En déduire les composantes réelles du champ électrique et du champ magnétique dans ce cas particulier.