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Les calculatrices sont autorisées.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Certaines des questions peuvent donner lieu à une application numérique, une attention toute particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée.
Certaines des questions peuvent donner lieu à une application numérique, une attention toute particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée.
DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS
- Texte de présentation (13 pages)
- Document réponse pour le problème B (3 pages)
L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Dans chaque problème, de nombreuses questions sont indépendantes.
PROBLEME A : CONDUCTIVITE D'ANNEAUX MESOSCOPIQUES ISOLES
Un système mésoscopique est un échantillon à une échelle intermédiaire entre la matière à l'état microscopique (l'atome) et macroscopique (le solide). Sa taille, micronique, lui confère un grand nombre d'électrons qui, si la température est assez basse (typiquement de l'ordre de quelques centièmes de degrés Kelvin), vont conserver leur «cohérence quantique». La physique mésoscopique est une physique récente, qui se développe avec l'avancée des nanotechnologies.
On sait fabriquer par lithographie des petits anneaux carrés de quelques micromètres de côté dans lesquels des électrons sont contraints de se déplacer. Un champ magnétique constant imposé perpendiculairement au plan de l'anneau va forcer les électrons à tourner dans l'anneau, créant ainsi un courant permanent. Il apparaît que la valeur de ce courant est une fonction périodique du flux magnétique. Pour mesurer ce courant, les anneaux sont couplés à un résonateur formé d'une ligne bifilaire en régime harmonique.
A. 1 LIGNE BIFILAIRE SUPRACONDUCTRICE AU NIOBIUM
La ligne bifilaire est un micro-résonateur constitué de deux fils parallèles d'une longueur
Figure 1 : microphotographie optique d'une partie de la ligne bifilaire en méandre et de ses anneaux mésoscopiques carrés.
Dans cette partie, on cherche à établir l'équation de propagation des ondes de courant dans la ligne. Pour ce faire, la ligne est «déployée» sur toute sa longueur
Figure 2 : ligne bifilaire et portion de largeur
A.1.1 Quelles sont les unités de
A.1.2 En se limitant à des termes du premier ordre, établir une relation entre
A.1.3 Déterminer alors l'équation différentielle régissant l'évolution de
A.1.4 Quelle remarque peut-on faire quant à ces deux équations? Que traduisent-elles physiquement ? Que représente la quantité
A.1.2 En se limitant à des termes du premier ordre, établir une relation entre
A.1.3 Déterminer alors l'équation différentielle régissant l'évolution de
A.1.4 Quelle remarque peut-on faire quant à ces deux équations? Que traduisent-elles physiquement ? Que représente la quantité
A. 2 CALCUL DE LA CAPACITE LINEIQUE DE LA LIGNE BIFILAIRE
On considère deux fils infinis parallèles portant chacun respectivement la charge
Figure 3 : portion de ligne bifilaire déposée sur un substrat de saphir
Pour les calculs d'électrostatique de cette partie, il suffira d'employer les théorèmes classiques (théorème de Gauss par exemple) en remplaçant la permittivité du vide
A.2.1 Soit un fil infini portant la charge linéique
A.2.1 Soit un fil infini portant la charge linéique
On appelle
A.2.2 En déduire le champ électrique créé en tout point
A.2.2 En déduire le champ électrique créé en tout point
Les fils ne sont pas infiniment minces : soit
A.2.3 Calculer la circulation du champ électrique sur un chemin allant d'un point du bord de la ligne portant la charge linéique
A.2.4 En isolant une portion de ligne bifilaire de longueur
A.2.3 Calculer la circulation du champ électrique sur un chemin allant d'un point du bord de la ligne portant la charge linéique
A.2.4 En isolant une portion de ligne bifilaire de longueur
A. 3 RESONANCES DE LA LIGNE BIFILAIRE ET IMPEDANCE EQUIVALENTE
A.3.1 On considère une onde électrique qui se propage dans le sens des
A.3.1.a En reprenant l'équation du A.1.3, quelle est la relation entre
A.3.1.b En utilisant les équations obtenues en A.1.2, calculer le rapport
A.3.2 On considère maintenant une onde électrique qui se propage dans le sens des
A.3.3 La ligne bifilaire étant ouverte, les ondes vont se réfléchir en
A.3.1.b En utilisant les équations obtenues en A.1.2, calculer le rapport
A.3.2 On considère maintenant une onde électrique qui se propage dans le sens des
A.3.3 La ligne bifilaire étant ouverte, les ondes vont se réfléchir en
En utilisant les résultats des questions A.3.1 et A.3.2 et le fait que la ligne bifilaire est ouverte en
A.3.4 Tout se passe comme si le générateur qui alimente la ligne était branché sur une impédance, l'impédance d'entrée
A.3.5 On considère maintenant une bobine pure d'inductance
A.3.5.a Calculer l'impédance équivalente de cette association parallèle. On la mettra sous la forme suivante :
A.3.4 Tout se passe comme si le générateur qui alimente la ligne était branché sur une impédance, l'impédance d'entrée
A.3.5 On considère maintenant une bobine pure d'inductance
A.3.5.a Calculer l'impédance équivalente de cette association parallèle. On la mettra sous la forme suivante :
Exprimer
A.3.5.b Tracer sur la copie l'allure du module
A.3.6 On remarque que la ligne bifilaire présente en fait plusieurs pulsations de résonance. En utilisant l'expression de l'impédance équivalente obtenue en A.3.4, montrer que les pulsations de résonance sont des multiples entiers d'une pulsation fondamentale que l'on exprimera en fonction de la longueur
A.3.7 Application numérique : la première fréquence de résonance est de l'ordre de 320 MHz et la ligne bifilaire a une longueur de 20 cm , une fois déployée. En déduire la valeur de la vitesse de propagation des ondes sur la ligne bifilaire. Cette valeur vous semble-t-elle cohérente?
A.3.5.b Tracer sur la copie l'allure du module
A.3.6 On remarque que la ligne bifilaire présente en fait plusieurs pulsations de résonance. En utilisant l'expression de l'impédance équivalente obtenue en A.3.4, montrer que les pulsations de résonance sont des multiples entiers d'une pulsation fondamentale que l'on exprimera en fonction de la longueur
A.3.7 Application numérique : la première fréquence de résonance est de l'ordre de 320 MHz et la ligne bifilaire a une longueur de 20 cm , une fois déployée. En déduire la valeur de la vitesse de propagation des ondes sur la ligne bifilaire. Cette valeur vous semble-t-elle cohérente?
A. 4 QUANTIFICATION DU FLUX MAGNETIQUE - COURANT PERMANENT
L'espace est muni d'un repère cartésien (
A.4.1 On considère un anneau circulaire métallique de rayon
A.4.1 On considère un anneau circulaire métallique de rayon
Exprimer la quantité
A.4.2 Un électron de masse
A.4.3 Nous allons utiliser maintenant une hypothèse émise par Bohr au début du vingtième siècle afin d'expliquer les niveaux d'énergie quantifiés des électrons dans les atomes: le moment cinétique de l'électron est quantifié. Il ne peut prendre que des valeurs multiples de
A.4.3.a Montrer que
A.4.3.b En appliquant la condition de quantification de Bohr à l'électron tournoyant dans l'anneau, montrer que la quantité
A.4.3.c Application numérique : calculer la valeur numérique de
A.4.4 On peut montrer en utilisant la mécanique quantique que l'anneau est le siège d'un courant permanent périodique avec le flux
A.4.2 Un électron de masse
A.4.3 Nous allons utiliser maintenant une hypothèse émise par Bohr au début du vingtième siècle afin d'expliquer les niveaux d'énergie quantifiés des électrons dans les atomes: le moment cinétique de l'électron est quantifié. Il ne peut prendre que des valeurs multiples de
A.4.3.a Montrer que
A.4.3.b En appliquant la condition de quantification de Bohr à l'électron tournoyant dans l'anneau, montrer que la quantité
A.4.3.c Application numérique : calculer la valeur numérique de
A.4.4 On peut montrer en utilisant la mécanique quantique que l'anneau est le siège d'un courant permanent périodique avec le flux
A. 5 COUPLAGE D’ANNEAUX ISOLES A LA LIGNE BIFILAIRE
On arrive à placer, dans les méandres de la ligne bifilaire, des anneaux mésoscopiques carrés (figures 1 et 3). En fait, ils ne sont pas dans le même plan que la ligne bifilaire. On négligera ce fait. La ligne bifilaire crée au niveau des anneaux un champ magnétique oscillant dont la variation de flux va induire sur les anneaux un courant oscillant à la même fréquence, dont une partie est en phase avec le champ magnétique émis (la partie réactive) et l'autre en quadrature (la partie dissipative). Les anneaux créent à leur tour un champ magnétique oscillant qui est détecté par le circuit émetteur (couplage par induction mutuelle), modifiant la courbe de résonance.
A.5.1 Estimer sur la microphotographie de la figure 1, située en début de problème, la valeur numérique du côté des carrés.
A.5.2 Etablir l'expression du champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant
A.5.3 Calculer le flux magnétique à travers le carré de côté
A.5.1 Estimer sur la microphotographie de la figure 1, située en début de problème, la valeur numérique du côté des carrés.
A.5.2 Etablir l'expression du champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant
A.5.3 Calculer le flux magnétique à travers le carré de côté
Figure 4 : schéma d'un anneau couplé au résonateur
A.5.4 On admet que les seuls anneaux qui participent effectivement au couplage par induction sont ceux qui sont proches des fils. De plus, on supposera que ces anneaux, sont situés exactement au centre de la ligne bifilaire, c'est-à-dire que leur centre est à une distance de
A.5.5 Supposons que la ligne bifilaire soit parcourue par un courant dont l'expression complexe est
A.5.6 On note
A.5.7 La ligne bifilaire étant modélisée comme dans la question A.3.5 par une inductance
A.5.5 Supposons que la ligne bifilaire soit parcourue par un courant dont l'expression complexe est
A.5.6 On note
A.5.7 La ligne bifilaire étant modélisée comme dans la question A.3.5 par une inductance
où
A.5.8 En se souvenant que la fréquence de résonance de la ligne est donnée par
A.5.9 Le flux magnétique capté par un anneau a deux origines :
A.5.8 En se souvenant que la fréquence de résonance de la ligne est donnée par
A.5.9 Le flux magnétique capté par un anneau a deux origines :
- une, due au champ magnétique émis par la ligne
- une autre, due à un champ magnétique permanent créé par un solénoïde dont l'axe est orthogonal au plan du résonateur, notée
. Ainsi le flux magnétique total s'écrit .
A.5.9.a Comment peut-on modifier le fluxen pratique?
A.5.9.b En se limitant à des termes d'ordre 1, on montre que la partie imaginaire de l'admittanced'un anneau est proportionnelle à la dérivée du courant permanent par rapport au flux . En déduire en fonction de et .
A.5.10 En reprenant l'expression de l'intensité des courants permanents de la question A.4.4, exprimeren fonction de et .
A.5.11 Comment faire expérimentalement pour mesurer?
A.5.12 La figure 5 ci-dessous donne l'évolution des parties réelles et imaginaires de la conductance relative en fonction du champ magnétiquecréé par le solénoïde. La conductance relative est définie par le rapport où est la conductivité lorsque le champ magnétique
appliqué est nul. Sachant que 1 gauss correspond à, vérifier que les courants ont une période égale au quantum de flux à partir du graphe de la figure 5 .
Figure 5 : variations relatives des parties imaginaires et réelles de la conductance en fonction du champ magnétique
FIN DU PROBLEME A
PROBLEME B : APPROCHE D'UN PROJECTEUR DE DIAPOSITIVES
Les questions de ce problème constituent une suite logique et sont donc à traiter dans l'ordre indiqué. Un document réponse est à votre disposition pour certaines questions.
Pour les tracés d'optique géométrique demandant une grande précision, le correcteur attachera une importance au soin et à la clarté des figures du document réponse.
Certaines des questions peuvent donner lieu à une application numérique, une attention toute particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème.
Notez bien que, pour des raisons techniques, il ne nous était pas possible de garantir la correspondance entre les valeurs des applications numériques et les distances focales mesurées sur les figures du document réponse. Ces dernières ont donc été choisies indépendamment des applications numériques de manière à vous permettre de tracer des figures restant dans la page et donnant une idée claire du schéma de fonctionnement. En conséquence aucune valeur ne sera mesurée à la règle sur le document réponse.
Pour les tracés d'optique géométrique demandant une grande précision, le correcteur attachera une importance au soin et à la clarté des figures du document réponse.
Certaines des questions peuvent donner lieu à une application numérique, une attention toute particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème.
Notez bien que, pour des raisons techniques, il ne nous était pas possible de garantir la correspondance entre les valeurs des applications numériques et les distances focales mesurées sur les figures du document réponse. Ces dernières ont donc été choisies indépendamment des applications numériques de manière à vous permettre de tracer des figures restant dans la page et donnant une idée claire du schéma de fonctionnement. En conséquence aucune valeur ne sera mesurée à la règle sur le document réponse.
B. 1 PREAMBULE
Dans l'ensemble de ce problème, on supposera qu'on se trouve dans les conditions de GAUSS.
B.1.1 On considère un pinceau lumineux convergent arrivant sur la lentille divergente de la figure 1. Sur la figure (B.1.1) du document réponse, tracer le pinceau lumineux au-delà de cette lentille.
Figure 1 : faisceau convergent arrivant sur une lentille divergente
B.1.2 On considère un système optique constitué (de gauche à droite) de deux lentilles minces convergentes (C1) et (C2) coaxiales de distance focale respective
B.1.3 Faire le tracé correspondant sur la figure (B.1.3) du document réponse. On prendra un faisceau incident de rayons parallèles faisant un angle
B.1.4 Etablir l'expression du rapport
B.1.5 Le faisceau incident faisant un angle
B.1.6 On considère maintenant un système optique constitué (de gauche à droite) de deux lentilles minces (C1) et (D2) coaxiales de distance focale respective
B.1.7 Faire le tracé correspondant sur la figure (B.1.7) du document réponse. On prendra un faisceau incident de rayons parallèles faisant un angle
B.1.8 Etablir l'expression du rapport G' (défini positif) des largeurs des faisceaux d'un tel système optique.
B.1.9 Le faisceau incident faisant un angle
B.1.10 Le faisceau sortant est-il toujours formé de rayons parallèles ? (Argumenter)
B.1.3 Faire le tracé correspondant sur la figure (B.1.3) du document réponse. On prendra un faisceau incident de rayons parallèles faisant un angle
B.1.4 Etablir l'expression du rapport
B.1.5 Le faisceau incident faisant un angle
B.1.6 On considère maintenant un système optique constitué (de gauche à droite) de deux lentilles minces (C1) et (D2) coaxiales de distance focale respective
B.1.7 Faire le tracé correspondant sur la figure (B.1.7) du document réponse. On prendra un faisceau incident de rayons parallèles faisant un angle
B.1.8 Etablir l'expression du rapport G' (défini positif) des largeurs des faisceaux d'un tel système optique.
B.1.9 Le faisceau incident faisant un angle
B.1.10 Le faisceau sortant est-il toujours formé de rayons parallèles ? (Argumenter)
B. 2 CONCEPTION D'UN PROJECTEUR DE DIAPOSITIVES
On cherche à concevoir un projecteur de diapositives (
Figure 2 : Vue du projecteur de diapositives
B.2.1 Quel est le grandissement
B.2.2 Dans un premier temps, on utilise le montage de la figure 2 qui comprend une source lumineuse (que l'on supposera ponctuelle) située en un point
B.2.3 Tracer sur la figure (B.2.3) du document réponse
B.2.4 Déterminer les expressions de
B.2.5 On souhaite en plus pouvoir obtenir une image nette par déplacement de l'objectif pour des distances
B.2.6 Quelles sont les limites de déplacement de la lentille (C1) entre
B.2.7 Quel intérêt/inconvénient voyez-vous à utiliser toute la surface de la lentille ?
B.2.2 Dans un premier temps, on utilise le montage de la figure 2 qui comprend une source lumineuse (que l'on supposera ponctuelle) située en un point
B.2.3 Tracer sur la figure (B.2.3) du document réponse
B.2.4 Déterminer les expressions de
B.2.5 On souhaite en plus pouvoir obtenir une image nette par déplacement de l'objectif pour des distances
B.2.6 Quelles sont les limites de déplacement de la lentille (C1) entre
B.2.7 Quel intérêt/inconvénient voyez-vous à utiliser toute la surface de la lentille ?
B. 3 PROJECTEUR DE SECONDE GÉNÉRATION
Pour réaliser un projecteur de seconde génération, on interpose une lentille (C0) convergente entre la lampe et le diaphragme du montage précédent. Cette lentille est en général épaisse, mais pour les besoins de cet exercice, on supposera qu'elle est mince et qu'on se trouve toujours dans les conditions de GAUSS (cf. figure 3). On remplace le diffuseur par un verre parfaitement transparent permettant de séparer thermiquement les deux parties du projecteur. On supposera qu'il est suffisamment fin pour qu'on puisse négliger le décalage de rayons qu'il induit.
Figure 3 : Vue du projecteur de diapositives de seconde génération
B.3.1 On a placé la lentille convergente (C0) de manière à ce que le pinceau lumineux issu de
- tracer l'enveloppe «utile» du pinceau lumineux entre
et (définie par les rayons limites) - construire les images
et de et respectivement (commentaire) - indiquer explicitement la position du plan focal image de (C0).
B.3.2 Donner la relation entre la distance focale imagede (C0) et pour un grandissement transversal associé à (C0) .
B.3.3 Pour des raisons d'encombrement, on est contraint de fixer la distanceà 5 cm . En déduire la valeur de la distance pour une image nette pour une distance .
B.3.4 Quelle est alors la valeur de la distance focale de la lentille (C0) ?
B.3.5 Dans le cadre des conditions aux limites imposées pour le réglage de la netteté dans B.2, on a prévu de pouvoir déplacer la lentille ( C 1 ) entreet déterminés dans B.2.5. Ceci implique un mouvement conjugué de (C0) entre les positions et . Donner les distances et correspondantes de manière à toujours respecter les conditions explicitées dans B.3.1.
B.3.6 Quelle est la relation entre la course' de la lentille (C0) et la course de la lentille (C1) ? Application numérique.
B.3.7 Doit-on toujours mettre la diapositive dans le même sens ? Commenter.
B.3.8 Quels sont les avantages à placer (C1) au point conjugué de S par (C0) ?
FIN DU PROBLEME B
FIN DE L'ENONCE.
DOCUMENT REPONSE
N.B. : Le candidat veillera à bien remettre le présent document réponse avec sa copie et à le placer dans le même sens que les autres copies rendues afin de préserver son anonymat.
Les tracés d'optique étant délicats, le correcteur attachera une importance au soin et à la clarté du document rendu.
Figure B.1.1 :
Figure B.1.3 :
Figure B.1.7 :
Figure B.2.3 :
Figure B.3.1 :
