N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le problème est composé de trois parties. Les résultats établis et donnés dans la partie I seront utiles dans la partie II.

La partie III est indépendante des deux autres.

En 2017, un rapport de l'agence de l'environnement et de la maîtrise de l'énergie (ADEME) estimait à 3,6 milliards de kWh l'énergie thermique perdue uniquement par les Data Center en France. Dans une logique de réduction de nos consommations énergétiques, on cherche aujourd'hui à récupérer et à valoriser cette énergie, appelée " chaleur fatale ", issue principalement de l'industrie et des transports.

Ce sujet s'intéresse au générateur thermoélectrique, dispositif capable de convertir la chaleur fatale en travail électrique.
Dans la partie I, on étudie l'effet Seebeck à la base du fonctionnement de ces générateurs avec en sous-partie la présentation et une interprétation microscopique de cet effet, puis en souspartie 1.2 une analyse de l'expérience historique à l'origine de sa découverte.
Dans la partie II, on décrit le principe de fonctionnement d'un générateur thermoélectrique et on calcule son rendement.
L'utilisation première des générateurs thermoélectriques a été l'alimentation, sur des périodes de plusieurs dizaines d'années, de sondes spatiales. Pour arriver jusqu'aux confins de notre système solaire avec une quantité limitée de carburant, ces sondes ont utilisé l'assistance gravitationnelle dont on propose une présentation dans la partie III. Après quelques généralités de mécanique céleste en sous-partie III.1, puis le calcul en sous-partie III. 2 du rayon d'influence de la planète Jupiter, on évalue l'économie d'énergie réalisée grâce à cette assistance en sous-partie III.3.

On considère un matériau conducteur électrique, homogène et isotrope, occupant un cylindre droit d'axe ( ), de section et de longueur (figure 1). Les deux sections droites qui limitent le cylindre sont portées aux potentiels électriques et avec . Le régime étant supposé stationnaire, le matériau est parcouru par un courant électrique de densité volumique uniforme. On note la conductivité électrique du matériau.

Q1. Rappeler la loi d'Ohm locale reliant le vecteur densité volumique de courant électrique au champ électrique . Préciser, en justifiant, le sens du champ électrique dans le conducteur. Établir l'expression de la résistance électrique du cylindre : .

Le matériau considéré est également un conducteur thermique, de conductivité thermique . Par contact avec deux sources idéales, les deux sections droites qui limitent le cylindre sont portées aux températures et avec . Le régime étant toujours supposé stationnaire, le matériau est parcouru par un flux de chaleur de densité volumique uniforme.

Q2. Rappeler la loi locale de Fourier reliant le vecteur densité volumique de courant thermique au gradient de température . En précisant les analogies avec le résultat précédent, donner l'expression de la résistance thermique du cylindre.

Lorsque le matériau conducteur est uniquement soumis à un gradient de température, ce gradient est aussi source d'un champ électrique qui s'écrit en régime stationnaire : . Cet effet est appelé effet Seebeck. est le coefficient Seebeck du matériau.

On considèrera dans toute la suite du sujet que les coefficients et sont indépendants de la température.

Q3. Déduire de la relation entre le champ électrique et le potentiel dont il dérive que le gradient de température induit une tension ou force électromotrice (f.é.m.) qu'on exprimera en fonction de et de l'écart de température .

On souhaite interpréter qualitativement l'effet Seebeck. On suppose pour cela que le matériau est un métal et que les porteurs de charges mobiles forment un " gaz " d'électrons libres.

Q4. On sépare tout d'abord fictivement le matériau en deux compartiments et de températures uniformes et , avec . Dans quel compartiment la vitesse moyenne des électrons est-elle la plus élevée?
Partant d'une situation où la densité volumique en électrons libres est supposée identique dans les deux compartiments, comment vont évoluer les densités des compartiments par passage des électrons d'un compartiment à l'autre? En transposant désormais cette analyse à une variation continue de la température dans le matériau, indiquer comment va évoluer la densité d'électrons libres sous le seul effet de ce gradient de température.

Q5. L'inhomogénéité de la densité d'électrons libres dans le matériau cause l'apparition d'un champ électrique. Déterminer qualitativement le sens de ce champ. En déduire le signe du coefficient Seebeck que prévoit cette analyse physique.

Q6. La mesure des coefficients Seebeck du cuivre et de l'aluminium donne respectivement: et . L'analyse qualitative précédente (question Q5) est-elle conforme aux données expérimentales ? Justifier brièvement.

La figure 2.a représente le dispositif expérimental qui permit à Seebeck en 1821 de mettre en évidence l'effet qui porte aujourd'hui son nom. On modélise l'ensemble par un cadre rectangulaire (figure 2.b). La portion est en bismuth, de coefficient Seebeck et de conductivité électrique . Le reste est en cuivre de coefficient Seebeck et de conductivité électrique . On suppose que la longueur des portions et est très grande devant la longueur des portions et . La portion est laissée à la température ambiante et la portion est portée à la température .

Q7. En circuit ouvert, donner les expressions des forces électromotrices et dans les portions respectivement en bismuth et en cuivre en fonction des coefficients et de l'écart de température (question Q3).

En circuit fermé, il faut en outre tenir compte des résistances électriques et des portions respectivement en bismuth et en cuivre (question ). On donne dans ces conditions le schéma électrique équivalent du cadre (figure 3).

Q8. Préciser le sens du courant d'intensité dans le cadre.
Q9. La portion en bismuth est une tige rectangulaire de longueur et de section . En négligeant devant , calculer l'intensité du courant pour .

Le cadre est situé dans le plan ( ) où l'axe ( ) est selon la verticale ascendante. On assimile les deux portions et à deux fils conducteurs rectilignes infinis, parallèles à l'axe ( ) et distants de , parcourus par un courant d'intensité dans des sens opposés (figure 4). Le milieu dans lequel est plongé le cadre est assimilé au vide.

Q10. On repère tout point de l'espace par ses coordonnées cylindriques ( ) dans la base locale ( ). Exprimer en fonction de et de le champ magnétique créé par le fil en bismuth confondu avec l'axe ( ).

Q11. En déduire l'expression du champ magnétique total créé par les deux fils en un point situé dans le plan vertical ( ), à égale distance de ces deux fils.

En l'absence de courant (donc d'une différence de température), le cadre est orienté de sorte qu'une petite aiguille aimantée située en son centre et libre de tourner sur un axe vertical s'oriente dans le plan du cadre. On note la composante horizontale du champ magnétique terrestre. En présence de courant (donc d'une différence de température), on constate que l'aiguille tourne d'un angle dans le plan horizontal ( ).

Q12. Exprimer l'angle en fonction de la norme des champs et . Calculer sachant que . On prendra et .

L'étude de l'effet Seebeck dans la partie I suggère la possibilité aux matériaux de convertir de l'énergie thermique en énergie électrique. C'est ce qui est réalisé dans les générateurs thermoélectriques.
Un module élémentaire d'un tel convertisseur est constitué de l'assemblage de deux matériaux semi-conducteurs (SC), l'un de dopage de type (les porteurs de charges majoritaires sont des lacunes électroniques ou " trous " de charge ), l'autre de dopage de type (les porteurs de charges majoritaires sont des électrons de charge ). Ces matériaux constituent les " jambes " du module qui sont montées électriquement en série et thermiquement en parallèle (figure 5). À l'une des extrémités du module, les matériaux sont reliés entre eux par une connexion métallique mise en contact avec une plaque céramique électriquement isolée et maintenue à une température (source chaude). À l'autre extrémité du module, les deux matériaux sont mis en contact avec une plaque céramique identique maintenue à une température (source froide) et reliés entre eux par l'intermédiaire d'une charge de résistance électrique . Chaque jambe occupe un cylindre droit d'axe ( ), de longueur et de section , de surface latérale isolée thermiquement.
Les matériaux semi-conducteurs ont des coefficients Seebeck et pour des dopages de type respectivement et .

Ce module fonctionne comme une machine thermique ditherme. On note et les puissances thermiques algébriques fournies au module par les sources respectivement chaude et froide, et la puissance électrique algébrique reçue par le module.

Q13. Préciser les signes de et . Définir le rendement du module.
Q14. En régime stationnaire, que dire des variations élémentaires d'énergie interne et d'entropie du module entre les instants et ?
On assimile le module à une phase condensée incompressible indilatable. Déduire alors des principes de la thermodynamique que son rendement a une limite supérieure, appelée rendement de Carnot. Exprimer le rendement de Carnot en fonction de et de . À quelle condition sur le fonctionnement du module ce rendement limite pourrait-il être atteint ?

Q15. Avec l'orientation choisie pour la définir (figure 5), l'intensité du courant qui circule dans le module en régime stationnaire est positive. Préciser les sens de déplacement des trous dans le semi-conducteur de dopage de type et des électrons dans le semi-conducteur de dopage de type . Aurait-on pu imaginer faire fonctionner un module avec des jambes constituées de semi-conducteurs de dopage de même type ? Justifier.

On s'intéresse tout d'abord à l'unique jambe constituée du semi-conducteur de dopage de type . On note et respectivement la conductivité électrique et la conductivité thermique de ce matériau. En régime stationnaire, la jambe est parcourue par un courant électrique de densité volumique uniforme et d'intensité . La température en tout point dans la jambe est alors de la forme . On néglige les résistances de contact (électriques et thermiques) aux interfaces entre le semi-conducteur et les connexions métalliques. On pourra ainsi considérer que et .

Q16. Exprimer en fonction notamment de .
Le champ électrique au sein de la jambe cède aux porteurs de charges la puissance volumique .

Q17. En effectuant, en régime stationnaire, un bilan thermique entre les instants et pour la portion de jambe comprise entre les abscisses et , établir l'équation différentielle vérifiée par , où est le vecteur densité volumique de courant thermique dans la jambe. On fera apparaître explicitement la puissance volumique .

En fait, un gradient de potentiel au sein du semi-conducteur n'engendre pas seulement un courant électrique, mais aussi un flux de chaleur. Cet effet découvert quelques années après l'effet Seebeck est appelé effet Peltier. On admet que la prise en compte de ces effets thermoélectriques conduit à la généralisation suivante des lois locales d'Ohm et de Fourier (questions Q1 et Q2) :

Q18. Déduire de l'équation différentielle précédente que , où est une constante positive qu'on exprimera en fonction de et de .

Q19. Compte tenu des conditions aux limites, établir l'expression de en fonction de , et de .

Q20. En faisant apparaître les résistances électrique et thermique de la jambe (questions et ), montrer que la puissance thermique fournie par la source chaude à la jambe a pour expression : .

On montre de façon analogue que la puissance thermique fournie par la source chaude à la jambe constituée du semi-conducteur de dopage de type a pour expression : , où et sont les résistances respectivement électrique et thermique de la jambe.

Q21. Déduire des résultats précédents l'expression de la puissance thermique algébrique fournie par la source chaude au module. On introduira le coefficient Seebeck global du module et les résistances équivalentes électrique et thermique du module, à exprimer en fonction de et de .

Q22. On montre de façon analogue que la puissance thermique algébrique fournie par la source froide au module s'écrit : . En déduire l'expression de la puissance électrique algébrique reçue par le module.

Q23. Sachant que la charge de résistance reçoit la puissance électrique , exprimer l'intensité du courant en fonction de et de .

Q24. Montrer que la puissance électrique reçue par la charge est maximale lorsque et étant fixés. On évoque l'adaptation d'impédance. Exprimer cette puissance en fonction de et de .

Q25. Le module est destiné à alimenter une montre. Il fonctionne grâce à l'écart de température entre la peau en contact avec la montre et l'air ambiant, typiquement . Estimer à l'aide des données suivantes le nombre de modules nécessaires à associer sachant que la puissance de fonctionnement de la montre est . On pourra considérer qu'un module fournit la puissance maximale déterminée dans la question Q24.

On peut montrer que le rendement maximal d'un module dépend du produit , appelé facteur de mérite, avec et une fonction des propriétés de transport ( ) des semiconducteurs. La figure 6 indique l'évolution du rendement maximal du module en fonction de la température de la source chaude pour plusieurs valeurs du facteur de mérite. La température de la source froide est fixée à 300 K . Dans l'état actuel des technologies, le facteur de mérite n'excède pas 1.

Q26. Pourquoi cherche-t-on à maximiser le facteur de mérite ?
Estimer le rendement d'un générateur thermoélectrique qui fonctionnerait avec les gaz d'échappement d'une turbine à combustion (centrale thermique destinée à produire de l'électricité) de température de l'ordre de . Commenter par comparaison aux rendements usuels des machines dithermes.

Du fait de leur faible rendement, les générateurs thermoélectriques restent aujourd'hui confinés à des applications de niches. Ils sont par exemple utilisés dans la plupart des sondes spatiales, avec du combustible radioactif comme source chaude et l'espace environnant comme source froide (générateur thermoélectrique à radioisotope ou GTR). Les GTR assurent une production électrique stable, permettant de maintenir opérationnels pendant plusieurs années les instruments embarqués dans les sondes au-delà de l'orbite de Mars, où les panneaux solaires ne sont plus efficaces. Lancées par la NASA en 1977, les deux sondes Voyager continuent encore aujourd'hui d'envoyer des informations sur Terre, à plus de 20 milliards de kilomètres de distance. Ces sondes ont collecté d'inestimables données scientifiques sur les planètes extérieures Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune, en tirant profit d'une conjonction exceptionnelle de ces planètes qui a permis aux sondes leur survol pratiquement sans dépense de carburant, grâce à l'assistance gravitationnelle.

On considère une sonde du programme Voyager, assimilée à un point matériel de masse . La sonde est en mouvement dans un champ gravitationnel qu'on supposera uniquement dû ici à Jupiter, relativement au référentiel d'étude " jupiterocentrique " considéré galiléen.
La planète est assimilée à une boule à répartition sphérique de masse, de sorte qu'elle se comporte d'un point de vue gravitationnel comme un point matériel fictif de même masse que cette dernière et situé en son centre .

Q27. Justifier à l'aide du théorème du moment cinétique que le moment cinétique par rapport au point de la sonde se conserve. En déduire que le mouvement de la sonde est plan. On repère la sonde par ses coordonnées cylindriques ( ) de centre . On choisit l'axe ( ) de sorte que . Montrer que la quantité est constante.

Q28. Établir l'expression de l'énergie potentielle dont dérive la force gravitationnelle subie par la sonde. On prendra .

Q29. Justifier que l'énergie mécanique de la sonde se conserve. Établir son équation radiale sous la forme : , où désigne une énergie potentielle effective dont on donnera l'expression en fonction de et de .
Représenter qualitativement . Expliciter les différents états possibles de la sonde en précisant la forme de sa trajectoire selon la valeur de son énergie mécanique .

Q30. Donner l'expression de la vitesse minimale qu'il faudrait communiquer à la sonde à la distance du centre de Jupiter pour qu'elle se libère de l'attraction gravitationnelle de Jupiter. Cette vitesse est appelée vitesse de libération de la sonde.

Dans la sous-partie précédente, seule l'influence de l'attraction gravitationnelle de Jupiter sur le mouvement de la sonde a été considérée. On se propose dans cette sous-partie d'établir une condition quantitative pour négliger l'influence de l'attraction gravitationnelle du Soleil devant celle de Jupiter.

On considère pour cela que le centre de Jupiter décrit une trajectoire circulaire de rayon autour du centre du Soleil dans le plan orbital ( ), relativement au référentiel héliocentrique considéré galiléen. On note la vitesse angulaire à laquelle tourne le point dans le sens direct de l'axe ( ) dans ce référentiel (figure 7). On suppose, comme pour Jupiter, que le Soleil se comporte d'un point de vue gravitationnel comme un point matériel fictif de même masse que ce dernier et situé en son centre .

Q31. Établir, à partir de la 2 e loi de Newton, les expressions de et de la vitesse de Jupiter dans le référentiel héliocentrique en fonction de et de . Calculer .

On raisonne dans la suite de cette sous-partie dans le référentiel auquel est lié un repère de centre dont les axes ( ) et ( ) tournent autour de l'axe ( ), dans le sens direct et à la vitesse angulaire dans le référentiel héliocentrique , avec .

Q32. Le référentiel ' est-il galiléen ? Justifier.
Q33. On considère la configuration où la sonde est située dans le plan orbital ( ) de Jupiter et telle que et soient alignés dans cet ordre (figure 7). On cherche la distance de la sonde au centre de Jupiter à laquelle elle est en équilibre dans le référentiel . Donner les expressions des forces s'exerçant sur la sonde en fonction de et de . On se limitera pour les forces d'origine gravitationnelle à celles dues au Soleil et à Jupiter.

Q34. Montrer que la condition d'équilibre conduit à : .
On suppose que . En effectuant un développement limité à l'ordre le plus bas possible en de chaque terme de l'égalité précédente, établir l'expression de la distance en fonction de et de .
On admet que cette expression reste valide en première approximation pour toute valeur de l'angle repérant la position de la sonde depuis le centre de Jupiter. L'ensemble des points de l'espace tels que la sonde soit en équilibre dans le référentiel ' est donc approximativement une sphère centrée en , de rayon , appelée sphère de Hill. Calculer .

Désormais, nous négligerons donc l'influence du Soleil devant celle de Jupiter sur la sonde dès lors que cette dernière se trouve dans la sphère de Hill.

On considère dans cette dernière sous-partie que la sonde arrive à l'entrée de la sphère de Hill de Jupiter avec une vitesse relativement au référentiel " jupiterocentrique " . Elle passe " derrière " Jupiter, puis sort de la sphère de Hill avec une vitesse . On note l'angle entre et (figure 8).

On suppose la durée de passage dans la sphère de Hill suffisamment courte pour pouvoir considérer d'une part le référentiel " jupiterocentrique " galiléen, et d'autre part la vitesse du centre de Jupiter dans le référentiel héliocentrique constante et selon pendant cette durée. On suppose enfin que le plan orbital de la sonde dans le référentiel " jupiterocentrique " est confondu avec le plan orbital ( ) de Jupiter dans le référentiel héliocentrique .

Q35. En traduisant la conservation de l'énergie mécanique de la sonde, montrer que .

On notera simplement par la suite . On prendra pour les applications numériques .

Q36. Pourquoi la vitesse de la sonde est-elle nécessairement supérieure ou égale à sa vitesse de libération à la distance (question Q30) ? Vérifier par une application numérique que c'est bien le cas.

Q37. On note et les vitesses de la sonde dans le référentiel héliocentrique respectivement à l'entrée et à la sortie de la sphère de Hill. Déduire de la loi de composition des vitesses les expressions de et en fonction de et de .

Q38. Reproduire la figure 8 sur la copie et y représenter les vitesses et . Vérifier qualitativement que la norme de la vitesse de la sonde a bien augmenté dans le référentiel héliocentrique à la sortie de la sphère de Hill. Dans quelle configuration l'augmentation de vitesse serait-elle maximale?

Q39. Exprimer et en fonction de et de .
Q40. Sachant que , calculer et en prenant la valeur de calculée à la question Q31. En déduire les valeurs numériques de la variation de la vitesse de la sonde relativement au référentiel héliocentrique à l'issue de son passage à proximité de Jupiter, puis de l'économie d'énergie réalisée grâce à l'assistance gravitationnelle de Jupiter. On prendra . D'où vient le gain d'énergie cinétique de la sonde?

Q41. La sonde Voyager dispose de 16 petits propulseurs identiques brûlant des ergols liquides et utilisés à la fois pour les modifications de trajectoire et pour les changements ou corrections d'orientation. En brûlant de sa quantité d'ergols liquides embarquée, on estime que l'accroissement de vitesse correspondant de la sonde serait de . Comparer à l'accroissement de vitesse obtenu grâce à l'assistance gravitationnelle et conclure.

FIN