CCINP Physique PC 2019

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Leurs poids respectifs sont approximativement de :
24 % pour la partie I
13 % pour la partie II
13 % pour la partie III
21 % pour la partie IV
16 % pour la partie V
13 % pour la partie VI

Ce problème aborde certaines étapes de l'histoire des sciences qui ont permis, au cours du siècle, de préciser la structure et les propriétés de l'atome. Dans la partie , on s'intéressera à l'expérience de . Rutherford, qui conduisit à abandonner le modèle de . Thomson au profit de celui de . Perrin. Les limites de ce modèle feront l'objet de la partie II, limites qui seront partiellement levées dans la partie III avec les postulats de N. Bohr. L'expérience historique de O. Stern et W. Gerlach, décrite dans la partie IV, apportera la preuve de l'existence d'un moment magnétique propre de l'électron. On verra dans la partie de quelle manière l'interprétation première de cette expérience a été mise en défaut avec l'effet Zeeman. C'est finalement la mécanique quantique qui apporte à ce jour la description la plus complète de l'atome : la partie VI étudiera le mouvement de l'électron d'un atome d'hydrogène à partir de l'équation de E. Schrödinger.

Les effets liés à la gravité seront négligés dans l'ensemble du problème.
Le rotationnel d'un champ a pour expression, en coordonnées cartésiennes :

Constante de Planck
Charge électrique élémentaire
Masse de l'électron
Electronvolt
Permittivité du vide
Célérité de la lumière dans le vide

En 1898, J . J. Thomson fait l'hypothèse que les atomes sont constitués d'électrons emprisonnés dans une sorte de gelée de charges positives. Ce modèle est appelé modèle du "plum pudding", car J. J. Thomson compare les électrons aux raisins du célèbre dessert anglais. Le physicien Jean Perrin imagine, quant à lui, l'atome à l'image du système solaire. Il suppose que les électrons gravitent, à des distances immenses, autour d'un «soleil» d'électricité positive, sur des orbites pour lesquelles force coulombienne et force d'inertie s'équilibrent.

En 1909, Ernest Rutherford, procède à une série d'expériences dans lesquelles un faisceau de particules alpha (noyaux d'hélium ), ayant toutes la même énergie cinétique, est lancé contre une mince feuille d'or. Il observe que la majorité des particules alpha traversent la feuille d'or, mais qu'une faible proportion d'entre elles «rebondit» sur celle-ci. Le but de cette partie est de déterminer quel modèle est en accord avec cette observation expérimentale.

Nous nous plaçons d'abord dans le cadre du modèle de . . Thomson, supposant une répartition uniforme de la charge positive dans la feuille d'or.

Q1. Expliquer qualitativement pourquoi le modèle proposé par . Thomson est incompatible avec les observations de . Rutherford.

Nous nous plaçons maintenant dans le cadre du modèle de . Perrin, supposant l'existence d'un noyau massif de charge positive, et on étudie le mouvement de la particule alpha lors de son passage à proximité de ce noyau.

Le noyau d'or, de charge positive ponctuelle Z.e, supposé ponctuel et immobile dans le référentiel galiléen du laboratoire, se situe au point , origine d'un repère cartésien orthonormé ( ).
Nous considérons qu'à l'instant initial , la particule alpha, de masse et de charge électrique , vient de «l'infini» avec un mouvement rectiligne uniforme caractérisé par un vecteur vitesse . On désigne par la distance du point à la trajectoire de la particule à l'infini (figure 1). À chaque instant , on note la distance entre la particule alpha et le point . La particule alpha est donc repérée par le vecteur position , avec une base cylindrique locale directe.
Au plus proche du point , la particule alpha est au point , la distance minimale en ce point est notée . La particule alpha est non relativiste. L'expérience a été réalisée sous très faible pression.

Q2. Donner l'expression de la force qui s'exerce sur la particule alpha en fonction de et . Donner l'expression de l'énergie potentielle qui y est associée, en considérant que , en fonction de et . Réécrire ces deux expressions en fonction de et .
Citer les propriétés de cette force qui permettent d'affirmer que le moment cinétique par rapport au point et l'énergie mécanique de la particule alpha se conservent.

Q3. Déterminer, en fonction de et , l'énergie mécanique de la particule alpha.
Q4. Exprimer le moment cinétique , en fonction de et l'un des vecteurs unitaires du trièdre direct . Pour cela, vous pourrez calculer en , position initiale de la particule alpha telle que .

Q5. Établir, à un instant quelconque, l'expression du moment cinétique en fonction de et de l'un des vecteurs unitaires du trièdre direct . En déduire une relation entre et .

Q6. Au sommet de la trajectoire, le vecteur vitesse , de norme , de la particule alpha est perpendiculaire au rayon vecteur , de norme . Déterminer un polynôme du second degré en et en déduire l'expression de en fonction de et .

Q7. Malheureusement, est inaccessible à la mesure. Par contre, l'angle de déviation est facilement mesurable. Il faut donc trouver la relation qui lie à . Pour cela, vous écrirez le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) en fonction de et . Projeter le P.F.D. sur l'axe des en introduisant la composante de la vitesse selon l'axe des , et l'angle (figure 1, page 3).
Réécrire cette équation en fonction uniquement de et . Intégrer cette équation entre et . On remarquera que . En déduire que la relation qui lie à est .

On rappelle que : et .
Q8. À partir de quelle valeur de les particules alpha rebondissent-elles sur la feuille d'or? Expliquer pourquoi le modèle de . Perrin permet d'interpréter les observations de E. Rutherford.

Nous nous proposons maintenant d'évaluer une borne supérieure à la dimension de ce noyau.
Q9. Montrer que la relation qui lie à est : .
Q10. Pour quelle valeur de l'angle , la distance d'approche est-elle minimale? Déterminer, dans ce cas, l'expression de en fonction de et .

Q11. Que vaut pour ? Représenter l'allure de la trajectoire de la particule alpha pour cet angle et faire figurer sur votre schéma. Justifier que constitue une borne supérieure du rayon du noyau.
Sachant que l'énergie typique d'une particule alpha est de 5 MeV et que le numéro atomique de l'or est , déterminer numériquement la valeur de .

Q12. Justifier que, pour effectuer des expériences de physique nucléaire, il faut disposer de particules de haute énergie.

Le modèle de . Thomson est écarté et l'on considère que les électrons évoluent, avec un mouvement circulaire uniforme, autour d'un noyau massif de charge électrique positive. Néanmoins, ce modèle est en contradiction avec une loi classique de l'électromagnétisme : toute particule chargée et accélérée émet de l'énergie électromagnétique.
Pour mettre en évidence les conséquences de cette loi classique de l'électromagnétisme, nous allons étudier le mouvement de l'électron de l'atome d'hydrogène, de masse et de charge électrique , qui tourne autour de son noyau, un proton de masse et de charge électrique , sur une orbite circulaire de rayon (figure 2). Le noyau est considéré, dans le référentiel galiléen du laboratoire, fixe, ponctuel et placé en son centre . Le centre de la trajectoire circulaire de l'électron est donc .

Pour étudier le mouvement circulaire de l'électron, nous allons utiliser le repère polaire pour lequel, en un point de la trajectoire décrite par l'électron, on associe deux vecteurs unitaires et
(figure 2). est le vecteur tangent à la trajectoire au point et dirigé dans le sens du mouvement.
La position de l'électron est repérée par le vecteur position : et l'angle .
Q13. Déterminer l'expression du vecteur vitesse de l'électron en fonction de et d'un vecteur unitaire.

Q14. Exprimer l'énergie mécanique de l'électron sous la forme où est une constante négative dont vous préciserez l'expression en fonction de et une fonction qui ne dépend que de que vous déterminerez également.

Q15. Une loi classique de l'électromagnétisme indique que toute particule chargée et accélérée émet de l'énergie électromagnétique. Aussi, d'après cette théorie, l'électron devrait émettre un rayonnement électromagnétique de puissance moyenne :

où est la vitesse angulaire de l'électron et la vitesse de la lumière dans le vide.
Cette puissance peut être mise sous la forme , où est une constante. Déterminer l'expression de et son unité.
Justifier que le rayon de la trajectoire de l'électron diminue au cours du temps.
Q16. Montrer qu'il existe une relation différentielle de la forme : .
Q17. À , on suppose que l'électron se trouve sur une orbite de rayon . Donner l'expression, en fonction de et , du temps mis par l'électron pour atteindre le noyau.
On donne , calculer . Commenter le résultat obtenu.

Les contradictions théoriques précédentes vont être «levées» par Niels Bohr. En 1913, ce dernier postule, d'une part, l'existence d'orbites circulaires sur lesquelles l'électron ne rayonne pas (postulat mécanique) et, d'autre part, que le mouvement d'un électron d'une orbite à l'autre se traduit par l'émission ou l'absorption d'énergie électromagnétique (postulat optique).

Le postulat mécanique traduit la quantification de la norme du moment cinétique de l'électron par rapport au centre de l'atome

où est le nombre quantique principal, et la constante de Planck.
Vous considérerez qu'un électron sur une orbite de rayon possède une vitesse et une énergie mécanique .

Q18. Montrer que le postulat mécanique implique que l'électron ne peut se trouver que sur certaines orbites de rayon .
Préciser l'expression de en fonction de et . Calculer la valeur de .
Q19. En traduisant le fait que l'onde de matière associée à l'électron doit interférer constructivement avec elle-même après un tour sur son orbite, établir une relation entre la longueur d'onde de De Broglie de l'électron et le périmètre de son orbite. Montrer qu'on retrouve alors le postulat mécanique de N. Bohr.

Q20. Montrer que le postulat mécanique implique que l'électron qui se trouve sur une orbite de rayon possède une énergie mécanique .
Préciser l'expression de en fonction de et . Calculer, en électronvolt, la valeur de . Que représente physiquement ?

Lorsqu'un électron va d'une orbite externe vers une orbite interne, on parle de réarrangement du cortège électronique ou de désexcitation et cela se traduit par l'émission d'un photon.

Q21. Montrer que la longueur d'onde du photon émis est liée aux nombres quantiques et des orbites de départ et d'arrivée de l'électron par l'expression de Rydberg - Ritz: avec est la constante de Rydberg.
Préciser l'expression de en fonction de et . Indiquer sa valeur et son unité.
Q22. Les raies de la série de Lyman sont celles pour lesquelles l'électron est revenu à la couche K . Dans ce cas, la mesure des trois premières raies donne les longueurs d'onde suivantes : .
À quelle partie du spectre électromagnétique ces longueurs d'onde correspondent-elles ? Calculer, à partir de ces valeurs expérimentales, la constante de Rydberg. Conclure.

En février 1922, Otto Stern et Walther Gerlach firent la découverte fondamentale de la quantification spatiale des moments magnétiques des atomes. Ce résultat est à l'origine de développements physiques et techniques importants du siècle, comme la résonance magnétique nucléaire, l'horloge atomique ou le laser. Pour cette découverte, Otto Stern reçut le prix Nobel en 1943.

Le dispositif mis en œuvre est représenté en figure 3, page 8 . Il y règne un vide poussé. Les atomes d'argent émergent d'un four pour traverser un collimateur, à la sortie duquel seuls les atomes se propageant selon l'axe ( ) sont sélectionnés. Ces atomes passent ensuite entre les pôles d'un aimant dont la forme a été choisie pour que le champ magnétique n'y soit pas uniforme.

Les lignes de champ magnétique sont représentées en figure 4, page 8. Ce champ possède une composante intense, une composante moins élevée et nulle au centre, et une composante nulle.

Puisqu'un dipôle magnétique de moment magnétique , situé en un point où règne un champ magnétique stationnaire , subit une force , le jet atomique est alors dévié. En sortant de l'entrefer, il continue en ligne droite jusqu'à un écran où sont repérés les impacts des atomes. Il est à noter que les atomes d'argent possèdent un seul électron de valence ce qui fait que, pour l'expérience considérée, ils se comportent de la même façon que des atomes d'hydrogène.

La sous-partie IV. 1 traite de généralités qui ont pour objectif d'aboutir, en fin de la question Q25, à l'expression de la pulsation de Larmor . Cette dernière devra être utilisée pour répondre à la question Q30 de la sous-partie IV.2. En dehors de ceci, les sous-parties IV. 1 et IV. 2 sont indépendantes.

Q23. Considérons l'électron de l'atome d'hydrogène décrivant un mouvement circulaire uniforme sur son orbite comme indiqué en figure 5, page 9. Donner l'expression du moment magnétique associé à la boucle de courant créée par le mouvement circulaire de l'électron en fonction de la vitesse de l'électron , du rayon de la trajectoire, de la charge électrique élémentaire et du vecteur unitaire .
En déduire que ce moment magnétique est lié au moment cinétique orbital en de l'électron par la relation où est le rapport gyromagnétique classique de l'électron. Exprimer en fonction de et .

Q24. Un dipôle magnétique de moment magnétique situé en et plongé dans un champ magnétique subit un moment . On considère un champ magnétique orienté selon l'axe (Cz), et indépendant du temps. Il y a donc un angle entre l'axe qui porte le moment magnétique ( ') et l'axe ( ) (figure 5). Déduire du théorème du moment cinétique appliqué en à l'atome d'hydrogène, que la norme du moment magnétique et sa composante selon , sont indépendantes du temps.

Q25. Un point décrivant un mouvement circulaire autour d'un axe ( ), de vecteur unitaire , à la vitesse angulaire a l'extrémité de son vecteur position qui respecte la relation : , avec un point de l'axe ( ).
Justifier alors que l'extrémité du vecteur tourne autour de l'axe (Cz) en décrivant un cercle à la pulsation de Larmor .

Q26. Expliquer la nécessité d'un champ magnétique non uniforme dans l'expérience de Stern et Gerlach.

Q27. Pourquoi les lignes de champ magnétique présentées en figure 4 de la page 8 sont-elles cohérentes avec l'énoncé ? Préciser la parité en de la composante .

Q28. Puisque la composante est une fonction continue et dérivable, sa parité impose la relation suivante : . Rappeler, sous leur forme locale, les équations de Maxwell dans le vide. Utiliser l'une d'entre elles pour démontrer que .

Q29. Compte-tenu du résultat précédent, montrer que les atomes d'argent qui passent en dans l'entrefer y subissent une force d'expression :

Q30. La durée de passage des atomes d'argent dans l'entrefer est d'environ 6 microsecondes. En considérant qu'il règne un champ magnétique d'environ 1 Tesla, justifier quantitativement, à partir de la pulsation de Larmor obtenue à la question Q23, que la composante transverse peut être remplacée par sa moyenne temporelle dans l'expression de la force exercée dans l'entrefer sur les atomes d'argent.
Justifier que cette expression se réduit alors à :
Q31. À partir de l'étude des lignes de champ magnétique de la figure 4 de la page 8, justifier que l'atome d'argent soit dévié vers les positifs lorsque la composante de son moment magnétique est positive.

Q32. Pourquoi, d'un point de vue classique, s'attendrait-on à ce que les impacts des atomes d'argent sur l'écran forment une mince ligne ?

Q33. Ce n'est pas ce que l'expérience a montré. Stern et Gerlach ont observé deux zones dans lesquelles impactaient les atomes. Le faisceau d'atome incident s'était séparé en deux faisceaux filiformes dirigés, respectivement, vers le haut et vers le bas. Que pouvez-vous en conclure?

L'effet Zeeman désigne généralement l'éclatement spectral des raies spectrales d'un atome quand on le soumet à un champ magnétique. En présence du champ magnétique, chaque raie se décompose en plusieurs raies très voisines, dont l'écart en fréquence par rapport à la raie unique observée en l'absence de champ magnétique est proportionnel au module du champ appliqué lorsqu'il est faible. Les premières observations faisaient état d'une raie en champ nul se décomposant en trois raies très proches : effet Zeeman normal (figure 6 de la page 11).
Dans cette cinquième partie, seule la question Q34 traite de l'effet Zeeman normal, les questions Q35 à Q45, indépendantes donc de la Q34, portent sur l'interféromètre de Fabry-Pérot utilisé pour sa mise en évidence.

Q34. Avec une lampe à vapeur de cadmium, en l'absence de champ magnétique (figure 6a, page 11), la désexcitation des atomes du niveau d'énergie , vers le niveau d'énergie s'accompagne de l'émission d'un photon de longueur d'onde . En présence d'un champ magnétique , cette raie se détriple (figure , page 11). Dans un modèle très simplifié, on interprète ce phénomène comme le fait qu'il n'y a plus un seul état d'énergie mais aussi deux autres états d'énergie et d'énergie avec .
Donner l'expression de l'écart de longueur d'onde entre deux raies consécutives. Effectuer l'application numérique pour un champ magnétique de 1 Tesla.

Pour mesurer ce faible écart entre deux longueurs d'onde, on peut utiliser un interféromètre de Fabry-Pérot. Il s'agit d'un dispositif dans lequel une lame d'air d'indice est enfermée entre deux miroirs semi-réfléchissants identiques, aux faces rigoureusement parallèles et traités pour augmenter leur pouvoir réflecteur. Il est représenté en figure 7. Les miroirs sont séparés d'une distance . Ils ont les mêmes coefficients de réflexion en amplitude et de transmission en amplitude .

Tout d'abord, nous supposons que le dispositif est éclairé par un rayon incident, monochromatique, de longueur d'onde . Il arrive en avec un angle d'incidence par rapport à la normale aux miroirs et possède une amplitude . L'épaisseur des miroirs est négligeable et nous considérons que les rayons transmis et réfléchis font tous un angle par rapport à la normale aux miroirs.

On s'intéresse à l'interférence des rayons émergents à l'infini. Pour observer ces interférences, on les ramène à distance finie en plaçant une lentille convergente de distance focale image à la sortie de l'interféromètre.

Q35. On appelle la différence de marche entre les deux rayons consécutifs 1 et 2 dans la direction (figure 8). Montrer que . En déduire l'expression de la différence de phase associée à .

Q36. Pour observer la figure d'interférence sur l'écran, comment faut-il placer l'écran par rapport à la lentille ? Quelle figure d'interférence observe-t-on alors ?
Quel autre dispositif permettrait-il d'avoir une figure d'interférence similaire?

Q37. Pour quelles valeurs de l'intensité lumineuse est-elle maximale ?

Nous considérons par la suite que l'expression de l'intensité totale est

où est le coefficient de finesse de la cavité et l'intensité du rayon incident d'amplitude . La fonction est appelée fonction d'Airy.

Q38. Donner l'expression du coefficient de finesse en fonction du coefficient de réflexion en énergie .

La largeur totale à mi-hauteur de la fonction d'Airy est notée et vaut : .

Q39. On a tracé, en figure 9, 3 courbes (a, b et c) de pour 3 valeurs de . Associer à chacune des courbes et c sa valeur . Pour observer des franges lumineuses fines sur fond obscur, quelle valeur de choisiriez-vous?

Q40. Justifier physiquement la dépendance de avec .

Q41. Montrer que l'ordre d'interférence de la frange centrale est, a priori, quelconque. Qu'est-ce que cela signifie pour son éclairement?

Q42. On considère les anneaux brillants autres que le disque central. Ces anneaux brillants sont de rayon et on montre que la largeur à mi-hauteur de ces anneaux brillants a pour expression : .
En déduire, en fonction de , un critère simple qui permettrait de distinguer deux anneaux brillants voisins, de rayons et , produits par deux longueurs d'onde proches.

Q43. En notant l'écart entre ces deux longueurs d'onde, ce critère se traduit par: avec la finesse de l'interféromètre de Fabry-Pérot. En considérant un écart entre les miroirs , un coefficient de réflexion en énergie et une longueur d'onde de , calculer l'écart minimal que le FabryPérot permet d'observer sous une incidence nulle. Ce dispositif est-il adapté à l'observation de l'effet Zeeman normal décrit dans le cas d'une lampe au cadmium soumise à un champ magnétique ?

Les observations expérimentales et leurs interprétations associées, étudiées dans les parties précédentes, ne représentent que quelques uns des faits expérimentaux qui se sont accumulés au début du XX siècle sans pouvoir être interprétés globalement. Seule la mécanique quantique permit d'acquérir une vision unifiée et cohérente de l'atome.

Dans cette partie, nous allons étudier quelques apports de la physique quantique dans la conception intellectuelle de l'atome. Nous considérons l'électron de l'atome d'hydrogène placé dans le potentiel coulombien . En régime stationnaire, la fonction d'onde associée vérifie l'équation de E. Schrödinger

où est l'énergie d'un état stationnaire de l'électron et l'opérateur Laplacien.

Q44. Par opposition avec les principes de la physique classique, comment est décrit le comportement des particules à l'échelle microscopique en physique quantique ? Une réponse en une phrase est attendue.

Q45. Que représente physiquement, pour l'électron de l'atome d'hydrogène, la norme au carré de la fonction d'onde associée ?

Q46. Concernant l'orbitale , la résolution de l'équation de Schrödinger conduit à

avec le rayon de Bohr de la question .
Nommer puis expliquer la propriété qui permet de justifier dans l'expression de la provenance du coefficient .

Q47. À partir de l'équation de Schrödinger, établir l'expression de l'énergie , correspondant à l'énergie d'un état stationnaire de l'électron lié à l'orbitale de l'atome d'hydrogène, en fonction de et . Comparer son expression à celle de l'énergie du modèle de de la question Q20.
L'expression du laplacien d'une fonction scalaire en coordonnées sphériques est :

Q48. La densité de probabilité de présence d'un électron sur une sphère de rayon , encore appelée densité radiale de probabilité, est notée . Dans le cas de l'orbitale , montrer que la densité radiale de probabilité de trouver l'électron à une distance du noyau est :

Q49. La courbe de la figure représente pour l'électron de l'atome d'hydrogène. On montre que la distance moyenne entre l'électron et le noyau est .
En vous appuyant sur la figure 10, expliquer pourquoi cette distance est différente du maximum de .