CCINP Physique PC 2015

Les trois problèmes sont indépendants.
Leurs poids respectifs sont approximativement de et .

Ce problème a pour objectif d'étudier des aspects de thermohydraulique du combustible nucléaire des réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP). Les REP exploitent l'énergie libérée par la fission de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons pour chauffer l'eau d'un premier circuit, appelé circuit primaire. Le combustible nucléaire est le siège des réactions de fission. Il est confiné dans des gaines métalliques. La forme chimique de l'uranium qui a été retenue pour le combustible des REP est l'oxyde , qui est plus stable chimiquement avec l'eau, en cas de rupture de la gaine.

Si le combustible nucléaire possède généralement une géométrie cylindrique, il peut être parallélipédique comme dans le présent problème, il est alors qualifié de combustible «plaque». Pour limiter les températures de la gaine et de l' , il faut maintenir une circulation minimale de l'eau du circuit primaire. Ce débit dépend directement des pertes de pression dues à la circulation du fluide.

Dans une première partie, nous allons étudier la thermique simplifiée d'une plaque de combustible nucléaire sans sa gaine. La deuxième partie conduit à l'élaboration du profil radial de température du combustible avec sa gaine. La troisième partie permet l'évaluation des pertes de pression, ce qui fixe une première contrainte quant au dimensionnement de la pompe associée au circuit primaire.

Les trois parties A.1, A. 2 (à l'exception de la question A.2.2 liée à la partie A.1) et A. 3 sont indépendantes.

Soit une plaque de combustible nucléaire dans laquelle des réactions nucléaires, réparties uniformément, dégagent une puissance thermique volumique constante. est la puissance thermique produite par unité de volume de combustible. Cette plaque parallélipédique est d'épaisseur , de largeur et de hauteur (figure 1).

Le combustible nucléaire est un corps solide homogène de masse volumique , de capacité thermique massique et de conductivité thermique . Nous supposerons que et sont indépendants de la température. Dans tout ce problème, on se placera en régime permanent, dans le plan ( ) et à une cote fixe pour établir les profils de température selon l'axe des . On suppose qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction et selon la direction . Dans ces conditions, la plaque est réfrigérée à gauche par un fluide 1 qui impose une température de paroi et à droite par un fluide 2 qui impose une température de paroi .

On rappelle que l'expression générale de l'équation de la chaleur s'écrit : , où représente le laplacien de la température . En coordonnées cartésiennes, l'opérateur laplacien a pour expression : .

A.1.1- Donner l'expression littérale de la puissance thermique produite dans le combustible, puis calculer sa valeur.
A.1.2- Donner l'expression littérale de en fonction de et . En déduire l'expression littérale de , valeur de pour laquelle la température est maximale, ainsi que cette dernière, , en fonction de et .
A.1.3- Dans le cas où , calculer les valeurs de et , puis tracer le profil de température dans la plaque.
A.1.4- Dans le cas où et , calculer les valeurs de et , puis tracer le profil de température dans la plaque.
On considère que les fluides de refroidissement arrivent à la même température et à la même pression en bas de la plaque combustible ( ) mais possèdent des vitesses d'écoulement différentes : pour le fluide 1 et pour le fluide 2 .

En justifiant votre réponse, dire lequel de ces deux fluides possède la vitesse d'écoulement la plus élevée pour avoir .

A.2.1- On considère un solide formé de deux parties parallélipédiques distinctes A et B , de même hauteur , de même largeur , mais d'épaisseurs différentes, respectivement et (figure 2). Leurs propriétés physiques sont homogènes mais différentes. On leur associe respectivement les conductivités thermiques et . Il n'y a aucun dégagement de puissance dans ces deux solides qui, par ailleurs, sont reliés sans résistance thermique. Les températures et sont fixées.

On suppose qu'il n'y a pas d'échange d'énergie autre que par conduction et selon la direction . Déterminer, en le justifiant, si chacun des quatre profils de température proposés (figure 3, page suivante) est, en régime permanent, possible ou non. Pour le ou les profils possibles, vous préciserez le sens du vecteur densité de flux thermique ainsi que la ou les valeurs de la température en en fonction de et .

A.2.2- Représenter, schématiquement, le profil de température radial en régime permanent, à fixé et compris entre 0 et , dans la gaine et dans le combustible d'une plaque combustible gainée (figure 4). Le fluide de refroidissement arrive, de part et d'autre du combustible plaque, à la même température et à la même pression en bas de la plaque combustible ( ) et possède la même vitesse d'écoulement. Il n'y a pas de fission dans la gaine. L'UO et la gaine sont reliés sans résistance thermique.

Le combustible nucléaire, isolé par sa gaine, est réfrigéré par une circulation d'eau appelée «eau primaire . Cette eau s'écoule de façon unidimensionnelle ascendante dans une conduite de section rectangulaire et constante, de surface , de largeur égale à la largeur de la plaque combustible et d'épaisseur (figure 5). Cette conduite est aussi appelée canal. Au cours de son parcours dans le canal, l'eau primaire est chauffée à puissance constante sur toute la hauteur de la conduite.

La pression en sortie de la conduite ( ) est maintenue constante à .
Les caractéristiques du fluide en entrée en sont : température , enthalpie massique , masse volumique , viscosité dynamique Pa.s.

Les propriétés physiques de l'eau à sont: température de saturation , enthalpie massique à l'état de liquide saturant , enthalpie massique à l'état de vapeur saturante .

Pour les questions A.3.1-, A.3.2- et A.3.3-, on considérera la pression de l'eau primaire constante à dans toute la conduite.
A.3.1- On rappelle que l'équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source ni puits s'écrit : avec la masse volumique du fluide en un point et à un instant donné, le vecteur vitesse du fluide en un point de la conduite et à un instant donné. On considère un fluide monophasique liquide qui s'écoule de façon ascendante selon l'axe des . Il possède, à la cote , une masse volumique et une vitesse (figure 5).

Montrer que, lorsque l'écoulement est en régime permanent, la vitesse massique et le débit massique sont indépendants de la cote . Ils seront désormais notés respectivement et .
A.3.2- On considère comme système un volume de conduite fixe , de section constante (figure 6 ), parcouru, de façon ascendante, par un fluide. Le fluide entre dans le volume à la cote , à la pression , avec une vitesse et une enthalpie massique , il en sort à la cote , à la pression , avec une vitesse et une enthalpie massique .

Le bilan de conservation de l'énergie interne effectué sur le volume permet d'obtenir, pour un fluide non visqueux, la relation : où est la puissance thermique échangée par unité de longueur, supposée ici indépendante de est le débit massique et la densité volumique d'énergie interne du fluide.

Montrer qu'en régime permanent cette relation se traduit par: . Déterminer alors l'expression littérale de l'enthalpie massique du fluide à la sortie de la conduite en fonction de : et . On donne et , calculer la valeur de . Qu'en concluez-vous? Calculer la cote de transition monophasique/diphasique dite cote d'ébullition.

Pour la suite du problème, afin de garantir un écoulement monophasique liquide, nous considérerons désormais un débit massique de . Dans ces conditions, la masse volumique du fluide en sortie de conduite sera égale à .
A.3.3- Vérifier, qu'avec ces nouvelles conditions, l'écoulement demeure monophasique liquide.
A.3.4- Un bilan de conservation de quantité de mouvement, projeté sur l'axe et effectué sur le système décrit précédemment, permet d'obtenir, pour un fluide monophasique non visqueux, la relation :

Comment est encore appelé ce bilan de conservation de quantité de mouvement en mécanique lorsque la masse volumique est constante ? Identifier les différents termes de la relation ci-dessus.

Montrer qu'en régime stationnaire nous obtenons la relation :

A.3.5- Les quantités et représentent respectivement les pertes de pression dites par accélération et les pertes de pression dites par gravité . Dans le cas général d'un fluide visqueux, des frottements doivent être pris en compte et se traduisent par des pertes de pression dites par frottement . Ces dernières font intervenir plusieurs paramètres dont le diamètre hydraulique , avec la section de passage qui correspond à la section à travers laquelle le fluide peut s'écouler et le périmètre mouillé qui correspond au périmètre des parois solides de la section en contact avec le fluide. Le coefficient est un facteur de frottement sans dimension relié au nombre de Reynolds Re, par la relation de Poiseuille : pour ou par la relation de Blasius : pour Re .
A.3.5.a- On note la pression du fluide à la sortie de la conduite et la pression du fluide à l'entrée de la conduite. Exprimer la perte de charge totale en fonction de et .
A.3.5.b- Calculer, dans un premier temps, la valeur de la vitesse massique , puis évaluer la valeur des pertes par accélération .
A.3.5.c- Pour calculer les pertes de charge par gravité, on définit une masse volumique moyenne et on considère alors que . Evaluer .
A.3.5.d- L'expression du nombre de Reynolds est où est la viscosité dynamique du fluide. Que représente physiquement ce nombre adimensionnel ? Calculer sa valeur en entrée de conduite puis la valeur du facteur de frottement associé.

Pour la suite du problème, nous considérerons un facteur de frottement constant tout le long de la conduite et égal à 0,015 .

Calculer alors les pertes de charge par frottement en considérant également une masse volumique moyenne constante le long de la conduite.
A.3.5.e- Qu'apportent les calculs précédents sur le dimensionnement de la pompe couplée au circuit primaire ? La puissance de la pompe dépend de la perte de charge totale , de et de . A l'aide d'une équation aux dimensions, donner l'expression de en fonction de et . L'application numérique donne , qu'en pensez-vous?
A.3.5.f- Un REP possède plusieurs centaines d'éléments combustibles regroupés en une structure d'allure cylindrique appelée «cœur». L'ensemble du cœur contient canaux identiques et parallèles.
Quelle relation y-a-t-il entre la perte de charge totale dans le cœur et ?
Quelle relation y-a-t-il entre le débit massique dans le cœur et ?
En déduire la puissance de la pompe couplée au circuit primaire du REP.

La lunette astronomique est un système centré constitué d'un objectif et d'un oculaire. L'objectif est assimilé à une lentille mince convergente de centre optique , de distance focale ' et de diamètre . L'oculaire est une lentille mince convergente de centre optique , de distance focale et de diamètre .

L'objectif donne, d'un objet éloigné, une image réelle appelée image objective. Cette dernière est observée au moyen de l'oculaire.

B.1.1- A quelle condition l'œil d'un observateur, supposé sans défaut, n'accommode pas (ne se fatigue pas) ? En déduire la position relative de l'objectif et de l'oculaire. Ce système optique possède-t-il des foyers ? Comment se nomme un tel système optique ?
B.1.2- Rappeler les conditions de Gauss. Réaliser un schéma, sans respecter les échelles, montrant le devenir d'un rayon incident faisant un angle avec l'axe optique et émergeant sous un angle dans les conditions de Gauss (figure 7).

Déterminer l'expression du grossissement de la lunette en fonction de et , et calculer ce grossissement si et .
B.2- On considère un faisceau lumineux issu d'un point objet à l'infini sur l'axe optique de la lunette (figure 8). Sans respect des échelles, représenter le devenir d'un tel faisceau lumineux limité par la monture de la lentille objectif (encore appelée diaphragme d'ouverture).

Exprimer le diamètre du faisceau de rayons issu de l'oculaire en fonction du grossissement de la lunette ainsi que du diamètre du diaphragme d'ouverture.

Après avoir calculé la valeur numérique du diamètre du faisceau de rayons issu de l'oculaire, montrer que c'est le diaphragme d'ouverture, de diamètre , qui le limite et non l'oculaire de diamètre . On donne et .
B.3- On considère un objet ponctuel situé à l'infini en dehors de l'axe optique et dans la direction par rapport à ce dernier (figure 9). Expliquer, de façon qualitative, ce qu'il advient des rayons lumineux lorsque l'angle devient trop important. On dit de la monture de l'oculaire qu'elle est le diaphragme de champ de la lunette. Pouvez-vous justifier cette affirmation?

B.4- L'objectif d'une lunette astronomique doit être capable de donner une image parfaite d'un point infiniment éloigné. Pour cela, il doit, notamment, être achromatique. D'où provient l'aberration chromatique d'une lentille ? Comment, en physique, qualifie-t-on ce type de milieu?

Le présent problème traite de la récupération de l'énergie générée par les vibrations ambiantes, telles les vibrations induites par l'utilisation d'appareils domestiques ou industriels. On peut également citer le cœur de l'être humain comme étant une source de vibrations.

Chaque source de vibrations aura son propre spectre (figure 10). Les caractéristiques du récupérateur d'énergie en dépendront ainsi que de l'application envisagée.

Dans ce cadre, l'utilisation d'un système mécanique résonant comme récupérateur d'énergie va se révéler pertinente. En effet, supposons que nous souhaitions récupérer de l'énergie d'une source de vibrations à 200 Hz pour une accélération maximale de . Dans ces conditions, la structure appelée boîtier, qui vibre, va se déplacer d'une amplitude d'environ . Puisqu'il est difficile d'imaginer récupérer de l'énergie sur une structure mécanique qui se déplace aussi faiblement, nous allons utiliser une structure mécanique résonante qui permet d'amplifier le déplacement.

Son modèle, représenté en figure 11, permet de donner une estimation de l'énergie théoriquement récupérable à une fréquence et une accélération données. Il est composé essentiellement d'un système masse ressort à un degré de liberté.

La masse dite sismique est supposée ponctuelle et est repérée par la position du point . Il s'agit en fait d'une poutre. Cette dernière est reliée au boîtier vibrant via un ressort et via un amortisseur modélisant un amortissement visqueux . Le ressort de constante de raideur , de longueur à vide , a son autre extrémité fixée au boîtier en .

Le support est soumis aux vibrations du milieu ambiant. On suppose que l'excitation est sinusoïdale et unidirectionnelle. Les points du boitier oscillent donc verticalement à la pulsation avec une amplitude dans le référentiel terrestre ( ) considéré comme galiléen muni d'un repère cartésien . Ainsi, la position du point est repérée par sa cote: . Ce déplacement induit un déplacement relatif de la masse sismique.

La position de la masse sismique est repérée dans le référentiel de la structure ( ) par sa cote sur l'axe ( ) fixe par rapport au boîtier. L'origine de de cet axe correspond à la position d'équilibre de en l'absence de vibration. Suite à une vibration sinusoïdale, la position de dans , par rapport à sa position d'équilibre, est de la forme : . Nous pouvons alors associer à et les notations complexes et reliées par la fonction de transfert représente la pulsation de résonance et le facteur de qualité.

Ainsi, si on ajuste la fréquence de résonance à celle des vibrations, avec un facteur de qualité de 100 , l'amplitude de vibration de la masse sismique est de . C'est sur ce principe que fonctionnent les microgénérateurs résonants.

Il existe trois méthodes différentes de transduction utilisables pour transformer l'énergie mécanique en énergie électrique : électrostatique, électromagnétique ou piézoélectrique. Les deux premières seront étudiées dans les parties C.3- et C.4-. La troisième méthode, qui met en œuvre des matériaux piézoélectriques, ne sera pas étudiée ici.

Le tableau suivant compare les densités d'énergie récupérables pour les trois types de transduction.

C.1.1- Quelles sont les limitations d'un récupérateur d'énergie vibratoire ?
C.1.2- Quels sont l'avantage et le risque d'appliquer des vibrations avec des accélérations importantes à un dispositif récupérateur d'énergie ?
C.1.3- La méthode de récupération d'énergie ambiante est-elle utilisable pour recharger un téléphone portable de type smartphone?
C.1.4- Vérifier qu'une structure qui vibre à 200 Hz avec une accélération de a une amplitude de déplacement de . Quel est l'ordre de grandeur de l'énergie maximale théorique récupérable pour une masse de 1 gramme ?

Le vecteur vitesse du point dans le référentiel ( ) est noté . Les amortissements visqueux sont modélisés par la force de frottement .
C.2.1- En l'absence de vibration, déterminer l'expression de la longueur à l'équilibre du ressort en fonction de et .
C.2.2- En présence de vibrations , trouver l'équation différentielle du mouvement de la masse sismique dans le référentiel non galiléen du boîtier.
C.2.3- Etablir l'expression de la fonction de transfert . Qualifier très précisément le type de filtre dont il s'agit. Justifier votre réponse.
C.2.4- Donner l'expression de la pulsation de résonance en fonction de et . Vérifier que le facteur de qualité a pour expression .
C.2.5- Justifier l'intérêt que la fréquence de résonance corresponde à la fréquence des vibrations.

Les microgénérateurs électrostatiques produisent de l'énergie électrique grâce à la variation d'une capacité constituée d'un conducteur mobile (la poutre vibrante) et d'un conducteur fixe associé à la structure. Si cette capacité est initialement chargée par une source de tension continue , alors la variation de cette capacité permet de multiplier l'énergie de la source d'alimentation. L'énergie produite sur une période par cette capacité variable , de valeur comprise entre et , vaut : .

C.3.1.a- Considérons un plan infini uniformément chargé en surface, perpendiculaire à l'axe ( ) de vecteur unitaire associé et centré en (figure 12). La densité superficielle de charges est positive et vaut . Rappeler le théorème de Gauss. Préciser les caractéristiques des vecteurs champs électriques et créés respectivement dans chacun des deux demi-espaces et et séparés par ce plan. Ce plan est placé dans de l'air, de permittivité .

C.3.1.b- Considérons deux plans infinis parallèles et , uniformément chargés en surface et perpendiculaire à l'axe (Oz) de vecteur unitaire associé (figure 13). Le plan possède une densité superficielle de charges positives et le plan une densité superficielle de charges négatives . Ces plans sont séparés d'une distance .

Préciser les caractéristiques des vecteurs champs électriques existant entre les plans ainsi que et créés respectivement dans chacun des deux demi-espaces et . Ces plans sont placés dans de l'air, de permittivité .

C.3.1.c- Un condensateur plan n'est pas constitué de plans infinis mais d'armatures de grandes dimensions par rapport à la distance les séparant, ce qui permet de négliger les effets de bord. Aussi, l'expression de l'intensité du champ électrique régnant entre les armatures sera considérée identique à celle trouvée, entre les plans, à la question précédente. Les densités superficielles de charges, pour l'armature 1 et pour l'armature 2 , sont dues à une source de tension continue positive qui les relie (figure 14, page 14).

Déterminer l'expression de la capacité du condensateur plan constitué de ces deux armatures métalliques très fines, de surface , distantes de et séparées par de l'air, de permittivité . Donner l'expression de l'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur en fonction de et de .

C.3.2- La distance entre les deux armatures n'est plus constante mais vaut avec ; l'armature 1 correspond à la poutre vibrante et l'armature 2 reste fixe par rapport au boîtier. Le condensateur ainsi constitué possède une capacité variable comprise entre et . Donner les expressions de et en fonction de et .
C.3.3- Le condensateur variable va fonctionner à charge constante. Le principe de fonctionnement sur une période (un cycle) est le suivant. Il fait référence à la figure 15. Lorsque la poutre (armature 1) est en , la capacité est initialement chargée à (interrupteurs fermé et ouvert). On ouvre et l'armature mobile s'éloigne pour effectuer son parcours. Lorsqu'elle est parvenue en , l'énergie emmagasinée dans le condensateur variable a changé. Cette énergie est alors transférée à un circuit récupérateur d'énergie (interrupteurs ouvert et fermé). Puis, l'armature mobile revient en où la capacité va être rechargée. L'énergie maximum récupérable sur une période vaut .
C.3.3.a- Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie d'un condensateur plan en fonction de la permittivité du diélectrique et de l'intensité du champ électrique régnant entre les armatures.
C.3.3.b- Montrer que l'énergie emmagasinée par le condensateur variable sur une période vaut .

A partir du schéma de principe indiqué en figure 16, expliquer le principe de la transduction électromagnétique en indiquant notamment la loi physique sur lequel il repose.