N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de quatre parties indépendantes et d'une annexe (page 19).

Il est rappelé au candidat qu'il peut utiliser tout résultat fourni dans l'énoncé pour répondre aux questions suivantes, même si ce résultat n'a pu être établi.

Formulaire

Développements limités à l'ordre 2 au voisinage de zéro de deux fonctions utiles :

Relations de trigonométrie :

Lumière et changements de référentiels : de l'éther luminifère à la relativité restreinte

Après le succès des théories ondulatoires de Young et de Fresnel, il restait aux physiciens à expliquer la propagation de la lumière. En 1873, Maxwell publie la forme définitive de ses équations de l'électromagnétisme. À l'instar d'une onde mécanique, la lumière est conçue comme la vibration d'un "milieu support" présent partout dans l'univers : l'éther luminifère. Puis en 1905, Einstein fonde la théorie de la relativité restreinte sur le principe de relativité (qui énonce que toutes les lois physiques sont invariantes par changement de référentiel galiléen (ou inertiel)) et sur le postulat de l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide : le caractère absolu du temps est remis en question, la transformation de Galilée est remplacée par celle de Lorentz, l'éther luminifère peut enfin être abandonné. La question de son existence restera cependant une des grandes quêtes de la Physique jusque dans les années 1930.

Les parties I et III de ce problème abordent deux expériences à propos de l'éther restées célèbres dans l'histoire des sciences.
La partie II traite des lois de transformation du champ électromagnétique lors d'un changement de référentiel.
Enfin, la partie IV traite du gyromètre optique : une application moderne d'un effet relativiste découvert par Sagnac en 1913 qui affecte la lumière dans un référentiel tournant. L'étude se termine par une modélisation informatique d'un moyen de détection du déphasage produit.

Point de vue général

On souhaite reprendre les raisonnements historiques à propos de l'éther tenus par les physiciens pré-relativistes.
On introduit pour cela le référentiel de l'observateur noté (

) et on considère l'éther comme un fluide en mouvement à la vitesse

dans (

), ce qui définit le référentiel de l'éther (

). La lumière, qui est une oscillation de l'éther, se propage dans celui-ci de manière isotrope : quelle que soit sa direction, le vecteur vitesse de propagation de la lumière dans (

), noté

, a pour norme

(valeur qui sera arrondie à

pour les applications numériques).

Consigne : en nous plaçant à l'époque des physiciens pré-relativistes, nous utiliserons la transformation galiléenne des vitesses et ferons comme si nous ne savions pas que

est une constante universelle de la Physique.

Partie I - L'expérience "MM" : Michelson et Morley (1887)

Le schéma de principe du dispositif que Michelson et Morley utilisèrent en 1887 est représenté en figure 1. Il s'agit d'un interféromètre de Michelson réglé au contact optique avec

la longueur commune des bras de l'interféromètre :

. L'ensemble Séparatrice-Compensatrice est modélisé comme une lame semi-réfléchissante d'épaisseur nulle, placée à

du faisceau incident et n'introduisant aucun déphasage supplémentaire sur les trajets lumineux. Les deux faisceaux lumineux obtenus après division d'amplitude suivent des trajets selon les axes

perpendiculaires. On observe les franges d'interférences à l'aide d'un oculaire micrométrique placé à la sortie de l'appareil.
À l'entrée de l'interféromètre, un filtre interférentiel isole la raie

du rayonnement solaire. On note

la fréquence de la lumière monochromatique ainsi obtenue.
Le référentiel d'observation (

) est ici le référentiel terrestre dans lequel les miroirs

sont immobiles. L'air est assimilé au vide et nous considèrerons qu'il n'a aucune influence sur la propagation. En revanche, l'ensemble du dispositif baigne dans l'éther en mouvement à la vitesse

uniforme avec

(mouvement appelé "vent d'éther").
Configuration

: l'interféromètre est positionné de telle sorte que le trajet lumineux sur le bras

soit colinéaire au vent d'éther. Le bras

est perpendiculaire à cette direction.
Configuration

: on fait subir à l'ensemble

Source, interféromètre, observateur} une rotation de

autour de l'axe Oz dans le sens horaire, de telle sorte que ce soit le bras

qui devienne colinéaire au vent d'éther.

Figure 1 - Schéma de l'interféromètre de Michelson dans la configuration

L'interféromètre est dans la configuration

(figure 1). On appelle

, un point quelconque entre O et

sur le trajet lumineux aller du bras

un point sur le trajet retour. On note de même

deux points entre O et

sur les trajets aller et retour du bras

.
En utilisant l'indice

ou 2 pour indiquer la voie de l'interféromètre et l'indice

pour indiquer le sens aller ou retour, on note

la vitesse de la lumière dans (

) et

sa vitesse dans (

). Par souci de lisibilité les quatre points

et les vitesses

ont été représentées hors des trajets des rayons lumineux.

Q1. Reproduire la figure 1 et la compléter en dessinant les "triangles des vitesses" reliant les vecteurs

aux points

, et

en supposant qu'une loi de composition galiléenne des vitesses s'applique.
Attribuer à chaque expression fournie ci-dessous la norme

correspondante :

Q2. En déduire l'expression de la différence

des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration

.
Faire un développement limité de

à l'ordre 2 en

.
Donner alors l'expression de l'ordre d'interférence

en fonction de la fréquence

, de

et du rapport

(on rappelle que l'ordre d'interférence de deux signaux lumineux cohérents entre eux et présentant un déphasage

est égal à

Q3. Avec le moins possible de calculs, donner de même les expressions :

de la différence des durées de parcours de la lumière arrivant à l'oculaire en suivant la voie 1 (respectivement 2) dans la configuration ;
du développement limité de à l'ordre 2 en ;
de l'ordre d'interférence en fonction de et du rapport .

Q4. Soit

la variation de l'ordre d'interférence produite lors du passage de l'interféromètre de la configuration

à la configuration

. Montrer que

Q5. De manière à visualiser un petit nombre de franges d'interférence à l'oculaire micrométrique, on règle l'interféromètre en coin d'air à partir de la configuration

en opérant une toute petite rotation du miroir

autour de son diamètre

. La figure d'interférences se présente alors comme un ensemble de franges rectilignes parallèles équidistantes d'interfrange

.
En supposant la variation

de l'ordre d'interférence obtenue en Q4 inchangée par ce nouveau réglage, indiquer quelle modification de la figure d'interférences est attendue lors du passage de la configuration

à la configuration

. Exprimer cette modification à l'aide de

Q6. En faisant l'hypothèse d'un éther immobile dans le référentiel héliocentrique et ne subissant aucun effet d'entraînement par l'atmosphère terrestre, Michelson et Morley comptaient observer cette modification avec une vitesse de vent d'éther de norme

environ.
a) Rappeler la définition du référentiel héliocentrique.
b) Énoncer, sans les démontrer, les trois lois de Képler pour une planète autour du Soleil.
c) Expliquer à quelle caractéristique terrestre correspond la valeur

escomptée par Michelson et Morley. Retrouver cette valeur à partir de

(constante de Newton),

(masse du Soleil) et

(durée de l'année terrestre).
Faire l'application numérique avec

jours.

Q7. Pour passer de la configuration

à la configuration

, Michelson et Morley avaient monté leur interféromètre sur une table en granit posée au-dessus d'un flotteur en bois sur un bain de mercure, ce qui leur permettait d'opérer une rotation de l'ensemble en toute simplicité (photo 1).

Photo 1 - L'interféromètre utilisé par Michelson et Morley en 1887
(source : http://ondes-relativite.info/ DomniqueCabala/chap4_histo.htm)

Une grande longueur des bras de l'interféromètre (obtenue par un rallongement des trajets à l'aide de plusieurs jeux de miroirs) et un oculaire micrométrique avaient été prévus afin d'assurer une détection confortable des modifications attendues de la figure d'interférences. La sensibilité du dispositif était de l'ordre du centième d'interfrange.

Avec

, donner la valeur numérique de

, variation de l'ordre d'interférence escomptée par Michelson et Morley, exprimée en Q4. Commenter.

Q8. Donner une estimation numérique de la vitesse d'éther minimale que le dispositif permettait de mesurer a priori. Quelle(s) objection(s) aurait-on pu faire quant au résultat de l'expérience finalement annoncé négatif par Michelson et Morley? Pourquoi l'expérience fut-elle reconduite à différents moments de l'année ?

Le résultat négatif de l'expérience de Michelson et Morley a révélé la mise en défaut de la transformation de Galilée. Cette dernière conduit également à des lois erronées de changement de référentiel pour le champ électromagnétique. C'est l'objet de la partie II ci-après.

Partie II - Électromagnétisme et relativité

Soit (R') un référentiel en translation rectiligne uniforme à la vitesse

par rapport à un référentiel (R). Un champ électromagnétique (

) est présent dans (R).

Q9. Rappeler l'expression de la force électromagnétique exprimant l'action du champ électromagnétique (

) sur une particule de charge

animée d'une vitesse

dans (R).

Q10. Expliciter la formule de transformation galiléenne des vitesses reliant la vitesse

de la particule dans (R') à sa vitesse

dans (R) et à

Q11. Dans (R') le champ électromagnétique précédent est caractérisé par les champs (

). En utilisant l'invariance de la force électromagnétique entre les référentiels

'), montrer que la loi de composition des vitesses utilisée en Q10 est compatible avec les lois suivantes de transformation «classique» des champs :

On considère, dans le vide, un fil rigide rectiligne cylindrique de rayon

et infiniment long, chargé avec une densité volumique

uniforme (figure 2). On note

la densité linéique de charge et ( R ') le référentiel du fil. La direction du fil est confondue avec l'axe Oz d'un référentiel (R) dans lequel le fil est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse

. On repère un point

à l'extérieur du fil par ses coordonnées cylindriques (

) d'axe Oz (avec

). On note

la permittivité diélectrique et

la perméabilité magnétique du vide.

Figure 2 - Fil chargé en mouvement à la vitesse

dans (R)

On cherche à calculer les champs électrique

et magnétique

créés par le fil dans (R) en tout point à l'extérieur du fil, à partir de leurs homologues

dans ( R ').

Q12. Justifier que

. En déduire

d'après

Q13. Par l'application du théorème de Gauss, calculer

. En déduire

d'après

.
Q14. Quelle est, en fonction de

, l'expression de l'intensité du courant électrique vue par un observateur dans (R) ? À l'aide du théorème d'Ampère, exprimer

. Commenter par rapport à Q12.

En fait, les lois de transformation des champs selon la relativité restreinte sont les suivantes :

avec

et où l'indice // désigne la composante des champs dans la direction définie par

et l'indice

leur composante perpendiculaire à

. Ainsi a-t-on

Q15. À l'aide de ces lois de transformations et en considérant exacts les champs

obtenus en

, donner les expressions correctes de

Q16. Quelle est alors, en fonction de

, la valeur de la densité linéique de charge

vue par un observateur dans

? Ce résultat correspond-il à une contraction ou à une dilatation des longueurs si on considère qu'il y a conservation de la charge électrique?

En 1924, la théorie de la relativité restreinte a presque vingt ans, mais les physiciens n'ont toujours pas tranché définitivement la question de l'éther, surtout qu'en 1913, un jeune physicien français, Georges Sagnac, découvre un effet qui va relancer le débat : en faisant circuler sur un même trajet fermé, mais en sens inverse, deux rayons lumineux émis à partir d'une source, Sagnac mesure un décalage des franges d'interférences lorsque le plateau sur lequel repose l'ensemble du dispositif est mis en rotation à la vitesse de quelques tours par seconde. Le décalage mesuré est proportionnel à la vitesse angulaire du plateau et à l'aire de la boucle suivie par la lumière. Cet effet, qui semble révéler une anisotropie de la vitesse de la lumière dans un référentiel en rotation, serait-il la preuve tant attendue de l'existence de l'éther?
Michelson, Gale et Pearson mettent alors sur pied une version modifiée de l'expérience de 1887 dans le but de tester les deux théories (éther luminifère et relativité restreinte) en mesurant l'effet Sagnac dû̀ à la rotation de la Terre. Cette rotation étant bien plus lente que la rotation du plateau utilisé par Sagnac, il fallait construire un interféromètre aux dimensions "gigantesques". La partie III traite de cette expérience "hors normes".

Partie III - L'expérience "M-G-P" : Michelson-Gale-Pearson (1924), ou de la mesure de l'effet Sagnac à l'échelle de la Terre

La Terre est supposée sphérique de rayon

et animée d'un mouvement de rotation uniforme d'Ouest en Est autour de l'axe des pôles à la vitesse angulaire

. Seul l'hémisphère nord a été représenté en figure 3. Un point quelconque sur cet hémisphère est repéré par ses coordonnées géographiques : latitude

comptée à partir de l'équateur vers le Nord et longitude

(

) comptée à partir du méridien de Greenwich vers l'Ouest.

Figure 3 - Coordonnées géographiques d'un point M dans l'hémisphère nord et interféromètre de Michelson-Gale-Pearson à boucle rectangulaire

Q17. Rappeler la définition du référentiel géocentrique

. Quel est le mouvement de la Terre dans

? Relier la norme

du vecteur

à la durée

du jour terrestre.

Dans cette partie, on fait l'hypothèse d'un éther immobile dans (

) et on étudie les effets du "vent d'éther" dus à la rotation terrestre.

Q18. Dans quelle direction et dans quel sens "souffle le vent d'éther" pour un observateur terrestre ? On note

la vitesse du vent d'éther à la latitude

, avec

le vecteur unitaire adéquat pour que

soit positive. Exprimer

en fonction de

La figure 4 représente schématiquement le dispositif de Michelson-Gale-Pearson utilisé en 1924. Celui-ci s'inspire de l'interféromètre à boucle fermée utilisé par Sagnac en 1913.

Figure 4 - Schéma de l'interféromètre utilisé dans l'expérience de Michelson-Gale-Pearson (source : "A review of Michelson-Morley, Sagnac and Michelson-Gale-Pearson experiments", the general science journal, M. D. Abdullahi)

Il s'agit d'un interféromètre à boucle rectangulaire, de largeur

et de longueur

installé sur un vaste champ à Clearing, en Illinois. Les côtés longs, AB et DC , de ce rectangle sont dirigés d'Ouest en Est, en suivant deux parallèles de latitudes respectives

(figure 3). Les petits côtés AD et BC qui complètent le rectangle occupent la direction Sud-Nord locale.

Cette "piste" rectangulaire était conçue à partir de tubes en fonte hermétiquement liés, dans lesquels un dispositif de pompage avait été prévu pour assurer un vide de bonne qualité.
La photo 2 montre à quoi ressemblait l'installation de la plus extraordinaire expérience d'interférométrie jamais réalisée jusqu'alors.

Photo 2 - L'installation de Michelson-Gale-Pearson à l'hiver 1924 dans un vaste champ à Clearing, en Illinois

On peut remarquer dans la partie gauche de la figure 4 un tube supplémentaire EF , formant avec AD une boucle rectangulaire AEFD d'aire beaucoup plus petite que le rectangle principal ABCD . Nous évoquerons plus loin le rôle de ce rectangle secondaire.

Aux sommets

et F , sont placées des lames semi-réfléchissantes orientée à

par rapport aux côtés et en

et D se trouvent trois miroirs plans également inclinés à

afin d'assurer des trajets lumineux parallèles aux axes de symétrie des tubes. Pour simplifier l'étude, on considèrera que les lames ont toutes une épaisseur nulle.

Un rayon de lumière issu d'une source

est divisé en deux rayons, l'un transmis et l'autre réfléchi par la lame A . Les deux rayons de lumière sont ainsi injectés en sens inverse le long du rectangle ABCD , en se réfléchissant sur les miroirs aux coins

et D , pour revenir sur la lame A et finalement interférer dans le plan focal image de l'objectif d'un télescope T .

Q19. a) On note

la durée que met la lumière à parcourir la distance cumulée 2 Y entre les deux latitudes

(il est inutile de chercher à déterminer sa valeur).
À l'aide de deux lois de composition galiléenne des vitesses aux latitudes

, exprimer en fonction de

et des composantes de vitesse du vent d'éther

, la durée de parcours

de la lumière dans son trajet ABCDA .
b) Faire le développement limité de

à l'ordre 1 en

et en

, puis à l'ordre 1 en

(on rappelle que

où

désigne la dérivée de

). En faisant apparaître Y , établir que la durée

peut s'écrire sous la forme

dans laquelle on explicitera

.
c) Exprimer de même la durée de parcours

de la lumière effectuant le trajet ADCBA en fonction de

. Un calcul non demandé analogue à celui de Q19.b conduit à

Q20. On suppose la lumière monochromatique de longueur d'onde dans le vide

. On note

la composante du vecteur

sur la direction de la normale au plan ABCD orientée vers le ciel (zénith local) et

XY l'aire du rectangle ABCD délimité par le trajet lumineux. Établir que le déphasage

entre les deux rayons lumineux à leur arrivée en A est

Q21. Quel est l'ordre d'interférence

correspondant?
Q22. Dans l'expérience de Sagnac, un décalage des franges (donc une variation

de l'ordre d'interférence) est observé par rapport à la situation où le plateau est immobile. Quelle est la difficulté de la mesure d'une variation

dans le cas de la Terre sur le même principe ? Expliquer le rôle du rectangle AEFD , d'aire beaucoup plus petite que

Q23. On donne

. Calculer

.
L'expérience de 1924 a donné

L'effet Sagnac dû à la rotation de la Terre existe donc bel et bien, mais seule la relativité peut en donner le calcul correct.

Partie IV - Une application moderne de l'effet Sagnac : le gyromètre à fibre

On considère un interféromètre de Sagnac (figure 5), constitué :

d'une lame séparatrice,
d'une bobine de fibre optique de longueur totale et d'indice optique , enroulée ( tours) sur un contour circulaire de centre O et de rayon ,
d'une source laser de longueur d'onde dans le vide
d'un détecteur optique.

Les rôles du modulateur et du démodulateur de phase seront explicités plus loin.

Figure 5 - Interféromètre de Sagnac à fibre optique

Après division du rayon incident, l'onde transmise et l'onde réfléchie parcourent la fibre en sens inverse (on parle d'ondes contra-propagatives), puis elles interfèrent par recombinaison après réflexion ou transmission retour sur la séparatrice. Un détecteur optique enregistre l'intensité résultante.

Lorsque l'ensemble du dispositif tourne autour de l'axe (

) perpendiculaire au plan de l'enroulement de la fibre avec une vitesse angulaire

(avec

), un déphasage Sagnac apparaît entre les deux ondes à la sortie de l'interféromètre. Son expression est

La mesure de ce déphasage permet d'accéder à

. On obtient ainsi un gyromètre optique, (ou gyrofibre) capable de fournir la mesure de vitesses de rotation. Pour avoir les trois composantes du vecteur rotation, il faut embarquer trois interféromètres de Sagnac à bobines mutuellement perpendiculaires. Allié à trois accéléromètres, l'ensemble constitue une UMI (unité de mesure inertielle), couramment utilisée aujourd'hui dans les avions et les navires. L'intégration des trois composantes d'accélération et de vitesse angulaire donne la position et l'orientation absolue du véhicule dans l'espace. Ce système embarqué autonome présente une complémentarité intéressante avec le positionnement GPS.

IV. 1 - Principe de fonctionnement et modulation de phase

Q24. Donner

en fonction de

et de l'aire totale

de la boucle qui compte

tours de fibre.
Q25. On note

l'intensité du rayon lumineux incident sur la séparatrice. En supposant une séparatrice idéale avec des coefficients de réflexion et de transmission en intensité égaux à

, donner sans démonstration l'expression

de l'intensité enregistrée par le détecteur en sortie d'interféromètre en fonction de

Q26. a) Partant d'un interféromètre au repos (

), la mesure de la variation de

produite par une rotation permet-elle de discriminer le sens de la rotation ? Argumenter.
b) On définit la sensibilité en intensité par

. Exprimer

en fonction de

. À

donné, sur quels paramètres peut-on jouer pour augmenter

sachant que le rapport

reste très inférieur à 1 pour les valeurs

usuellement rencontrées dans un gyromètre optique ?
c) À

donnée, quelle difficulté apparaît pour la mesure des très faibles vitesses de rotation?

La difficulté à déterminer le sens de rotation et à mesurer de très faibles vitesses angulaires peut être résolue en utilisant une modulation de phase sinusoïdale de fréquence

et d'amplitude

au moyen d'un modulateur électro-optique (représenté en figure 5).

Le modulateur joue le rôle d'une ligne à retard. À la traversée du modulateur, les deux ondes subissent le même signal de modulation mais décalé dans le temps, l'une subissant la modulation avant son entrée dans la bobine de fibre, l'autre après en être ressortie. Le retard est égal au temps de transit

dans la bobine de fibre (on rappelle que

est l'indice optique). Le déphasage total entre les deux ondes en sortie d'interféromètre est alors donné par :

où

est le signal de modulation (ou "biais") appliqué par le modulateur.
Q27. a) Montrer que

.
b) On note

la fréquence propre de la fibre. Montrer que pour des valeurs de

bien choisies par rapport à

prend la forme suivante:

où on exprimera la constante

en fonction de

Q28. Donner l'expression de l'intensité

enregistrée par le détecteur en fonction de

, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante :

IV. 2 - Analyse harmonique

Q29. À l'aide des données de l'annexe (page 19), montrer que le développement en série de Fourier du signal

limité à ses trois premiers termes s'écrit

avec

trois coefficients à exprimer en fonction de

et des valeurs

des fonctions de Bessel.

Une méthode de détection de la rotation de la fibre basée sur la détermination du coefficient

est détaillée dans les questions Q31 à Q33.

Q30. a) Que vaut

en l'absence de rotation?
b) Expliquer pourquoi la détermination de

permet de résoudre les problèmes sur le sens de la rotation et sur la sensibilité aux faibles vitesses évoqués en Q26.

Pour extraire la valeur de

, on met en œuvre une méthode de détection synchrone : on utilise pour cela un démodulateur (figure 6) constitué d'un étage multiplieur (de constante caractéristique

) et d'un circuit (

). La tension réponse du détecteur

(où

est une constante caractéristique du détecteur) est multipliée par une tension sinusoïdale

synchrone de l'harmonique qu'on cherche à extraire (i.e. de même fréquence et de même phase que lui). Ainsi, la tension en sortie de multiplieur est

Figure 6 - Schéma du démodulateur

Q31. Exprimer la tension

sous la forme d'une somme

dans laquelle on précisera les valeurs des coefficients

en fonction de

et des coefficients

introduits en Q29.

Q32. Expliquer le rôle de la cellule (

) par rapport à l'objectif visé. Exprimer une condition littérale avec

et la constante de temps

de la cellule pour que la tension

aux bornes de C soit constante. Donner une valeur numérique convenable de

Q33. La condition demandée en Q32 étant satisfaite, on donne la valeur de

obtenue aux bornes de

Application numérique :

. Calculer

(en radians) puis

IV. 3 - Simulation informatique

Cette sous-partie est indépendante des questions précédentes. Ni le traitement des questions Q24 à Q33, ni la connaissance du signal

ne sont nécessaires pour répondre aux questions ci-dessous.

On veut faire une simulation du filtrage du signal

par la cellule (

) à l'aide d'un code informatique. L'intervalle de temps choisi pour la simulation est

. On définit dans cet intervalle

dates

équidistantes, avec

entier naturel (

).
On note

le pas de temps.
On note

la valeur de

à la date

.
On fait de même avec

.
Q34. a) Établir l'équation différentielle liant

.
b) Mettre cette dernière sous la forme

où on explicitera la fonction

(paramétrée par

).
c) En déduire l'écriture de la différence

en fonction de l'intégrale

Q35. Méthode

Écrire l'évaluation approchée de

par la méthode des rectangles.
En déduire la relation de récurrence donnant

à partir de

. Quel nom donne-t-on à cette méthode ?

Q36. Méthode : méthode améliorée de Runge-Kutta

On reprend l'intégrale

de la question Q34.c. Écrire l'évaluation approchée de

par la méthode des trapèzes.

Grâce à une évaluation approchée de

à préciser, montrer que la relation de récurrence qui permet de calculer

à partir de

, prend la forme suivante :

Écriture du programme (Informatique Pour Tous)

On prendra

, la date de début

, la date de fin

comme condition initiale. Le candidat utilisera le langage de programmation Python pour compléter le programme (tableau 1) en Q37.

Dans ce tableau, lignes 13 à 17, le symbole @ désigne des valeurs numériques qu'on ne demande pas de renseigner. A partir du bloc ligne 34,

indique le code absent à compléter (un morceau de ligne ou une ligne ou plusieurs lignes d'instructions).

Programme incomplet (Python)	de ligne
import matplotlib.pyplot as plt	1
import numpy as np	2
	3
#Définition des constantes	4
fm=3E4 # fréquence de modulation	5
. #intensité de référence	6
.	7
.	8
.	9
pi=np.pi #valeur pi de numpy nommée pi	10
	11
#Valeurs numériques entrées	12
phi_s =@ # valeur de trouvée en Q33	13
phi_eff=@ # valeur de	14
# différents essais (cf. question Q38)	15
tau # valeur de la constante de temps (cf. question Q32)	16
# différents essais pour illustrer le rôle de la cellule (R,C)	17
	18
# Définition des signaux et	19
:	20
return (I0/2)(1+np.cos(phi_s+phi_effnp.cos(2pifm*t)))	21
	22
:	23
return K*I(t)	24
	25
:	26
return s0np.cos(2pifmt)	27
	28
:	29
return	30
	31
#définition de la fonction f	32
:	33
$$	34
	35
#dates initiale et finale de la simulation	36
ti, tf = 0, 0.001	37
	38
#nbre de dates de simulation	39
	40
	41
de temps	42

	43
#définition de la liste T des dates :	44
T=[ ]	45
for n in range (	46
$$	47
	48
#définition de la liste P des valeurs	49
$$	50
	51
	52
#Calcul de U par la méthode :	53
:	54
#initialisation avec	55
for n in range($$$	56
U.append($$	57
$$	58
	59
# Liste U1 obtenue par appel de E(P)	60
	61
# Affichage de la liste des résultats de la méthode	62
print(U1)	63
	64
#Calcul de U par la méthode de Runge-Kutta	65
def RK(P):	66
	67
$$	68
	69
U2=RK(P) #Liste U2 obtenue par appel de RK(P)	70
	71
# Représentations graphiques pour la méthode de Runge-Kutta	72
plt.figure()	73
plt.plot(T,P,'b')	74
plt.plot(T,U2,'r')	75
plt.title('p(t) et )	76
	77

Tableau 1 - Programme incomplet

Q37. Répondre sur la copie aux consignes ci-dessous :

bloc ligne 32 : compléter le programme pour la définition de la fonction f .
bloc ligne 44 : compléter cette section par les lignes nécessaires à la création de la liste T des N dates équidistantes dans l'intervalle .
bloc ligne 49 : faire de même pour la création de la liste P des valeurs .
bloc ligne 53 : recopier et compléter cette partie de programme pour obtenir la liste U des valeurs calculées par la méthode de la question .
bloc ligne 65 : écrire une fonction qui remplit la liste U des valeurs calculées par la méthode de Runge-Kutta de la question Q36.

Q38. Pour la valeur

de la question Q33, les figures 7a, b, c, d et e fournies en page 18 sont les représentations graphiques de

obtenues par la fonction RK. L'unité utilisée en ordonnée est le volt. Chaque figure correspond à un couple (

) dont les valeurs sont regroupées dans le tableau 2.

du couple

Nom de la

figure

Tableau 2

a) Recopier le tableau 2 et compléter la ligne vide à l'aide du document dans l'annexe et des valeurs numériques données en Q33. Vous fournirez les explications qui ont motivé vos réponses.
b) Quelle valeur de

n'est-elle pas conseillée ? Pourquoi?
c) Quel avantage et quel inconvénient ces graphes laissent-ils entrevoir dans le choix d'une grande valeur de

?
d) Calculer la valeur de

si on exploite le graphe (

) en pensant qu'il s'agit d'un graphe (