CCINP Physique 2 MP 2008

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Ce problème d'optique comprend deux parties indépendantes : focométrie et lunette astronomique achromatique.
La première partie concerne la mesure, par différentes méthodes, des distances focales de lentilles minces convergentes et divergentes. La seconde partie consiste à rechercher les conditions pour limiter l'aberration chromatique, c'est-à-dire les défauts de formation des images dus à la dispersion des verres des objectif et oculaire d'une lunette astronomique.

Les quatre figures de la partie «Optique» sont en page 6.
On considérera que les lentilles minces de ce problème sont utilisées dans le cadre de l'approximation de Gauss.

L'axe ( ) d'un banc d'optique est orienté dans le sens de parcours de la lumière. On notera et les centres de deux lentilles ( ) convergente et ( ) divergente, A et les points sur l'axe optique d'un objet lumineux transverse AB et de son image par l'instrument.

On exprimera et à près.

1.1.1.1. Décrire la méthode expérimentale dite «d'autocollimation» qui permet de mesurer la distance focale d'une lentille mince convergente.
1.1.1.2. Quand l'image de l'objet AB est obtenue par cette méthode, la distance mesurée objet-lentille est de . Les incertitudes absolues de lecture sur l'axe et de mise au point de l'image étant au total évaluées à , exprimer la distance focale de et son incertitude absolue .

L'objet réel AB placé à 35 cm de la lentille ( ) donne une image nette de cet objet sur un écran (E) situé à de la lentille.
1.1.2.1. Déterminer la distance focale de cette lentille.
1.1.2.2. Sachant que les incertitudes absolues sur les distances objet-lentille (incertitude de lecture) et lentille-écran (incertitudes de lecture et de netteté de l'image) sont respectivement évaluées à et , calculer l'incertitude absolue .

Un objet AB et un écran (E) sont fixes et distants de . Entre l'objet et l'écran, on déplace la lentille pour obtenir sur (E) une image nette .
1.1.3.1. On pose . Montrer que si , valeur minimale que l'on exprimera en fonction de , alors il existe deux positions distinctes et (avec ) de ( ) pour lesquelles une image nette se forme sur l'écran. Donner les expressions de et en fonction de et .
1.1.3.2. Si représente la distance entre les deux positions de la lentille ( ) quand , montrer que la distance focale s'exprime en fonction de et .
1.1.3.3. Déterminer l'incertitude absolue de l'expression de sachant que les incertitudes absolues de et sont respectivement notées par et .
1.1.3.4. Calculer la distance focale de ( ) et son incertitude absolue sachant que et .

L'objet AB étant fixe, sa position sera prise comme origine sur l'axe optique. On cherche les positions de la lentille ( ) et de l'écran (E) telles que le grandissement transversal . La distance objet-écran est alors .
1.1.4.1. Utiliser la relation de conjugaison de Descartes et l'expression du grandissement pour obtenir en fonction de .
1.1.4.2. On mesure avec une incertitude absolue de comprenant la lecture et la mise au point de l'image pour ce grandissement. En déduire la distance focale de et son incertitude absolue .
1.1.4.3. La méthode de Silbermann peut-elle se déduire de la méthode de Bessel ? Justifier votre réponse.

Parmi ces quatre méthodes quelle est celle qui vous semble la plus rapide à mettre en œuvre pour obtenir l'ordre de grandeur de et celle qui vous permet la meilleure précision?

On exprimera à près.

Pour déterminer la distance focale d'une lentille mince divergente ( ), on accole celleci à une lentille mince convergente ( ) de vergence et on utilise ce système mince pour obtenir d'un objet réel AB , une image réelle , renversée, de même dimension que l'objet. La distance objet-image mesurée est égale à 1 m .
1.2.1.1. Déterminer la vergence du système de lentilles accolées.
1.2.1.2. En déduire la vergence et la distance focale de la lentille ( ) sachant que pour l'association nous avons: .
1.2.1.3. Les centres optiques des lentilles dites «accolées» sont en fait distants de . Evaluer à nouveau et à partir de cette formule de Gullstrand qui prend en compte la distance entre les centres optiques: .

Un viseur à frontale fixe est utilisé pour déterminer la distance focale de la lentille ( ). On vise d'abord l'objet AB , on insère ( ) entre l'objet et le viseur à une distance de AB et enfin on doit reculer d'une distance pour viser l'image .
1.2.2.1. À partir de la relation de conjugaison de Descartes, montrer que la distance focale s'exprime en fonction des distances et .
1.2.2.2. Sachant que et , calculer .

La méthode de Badal se déroule en deux étapes :
lère étape : une lentille convergente ( L ) donne d'un objet ponctuel A situé au foyer objet F de cette lentille, une image rejetée à l'infini. Une seconde lentille convergente de distance focale connue est disposée à la suite de ( L ) à une distance supérieure à . L'image finale ponctuelle A ' se trouve sur un écran (E) situé au foyer image .
2ème étape : la lentille divergente ( ), de distance focale inconnue, est positionnée dans le plan focal objet de ( ). Pour obtenir la nouvelle image nette , il faut éloigner (E), de ( ), d'une distance .
1.2.3.1. En appliquant la relation de conjugaison de Newton à la lentille , déterminer la relation donnant l'expression de la distance focale en fonction des distances et .
1.2.3.2. Pour les distances et , calculer .

La vergence d'une lentille mince est donnée par la relation algébrique suivante :

où est l'indice de réfraction du verre constituant la lentille et et , les rayons de courbure algébriques ( ) respectivement des faces avant et arrière de la lentille.

L'indice varie avec la longueur d'onde suivant la loi empirique de Cauchy :

Pour un verre de type crown : et .
On définit la constringence et le pouvoir dispersif d'un verre par: , où et sont les indices du verre pour les radiations (bleu: ), (jaune: et rouge : .

On notera , et les distances focales images et et les foyers images de la lentille pour les radiations et respectivement.

Une lentille mince ( L ), en verre crown, est biconvexe avec les rayons de courbure et tels que et . Le diamètre de (L) est : .
2.1.1. Calculer, avec le nombre de chiffres significatifs correct, les indices et . En déduire la constringence et le pouvoir dispersif pour ce verre crown.
2.1.2. Déterminer la distance focale moyenne de (L).

Deux lentilles minces convergente (Figure 1) et ( ) divergente (Figure 2) sont éclairées, parallèlement à l'axe optique, par un faisceau de lumière blanche.
2.2.1. Reproduire les figures 1 et 2 et tracer le cheminement des rayons lumineux bleu et rouge de longueurs d'onde respectives ( ) et ( ) émergeant des lentilles ( ) et ( ), en indiquant pour chacune de ces deux lentilles la position relative des foyers et sur l'axe optique.

2.2.2.1. L'aberration chromatique longitudinale d'une lentille est définie par la distance algébrique qui sépare les foyers bleu et rouge .
Exprimer pour la lentille convergente ( L ), en fonction de la constringence et de la distance focale moyenne , en supposant que . Commentaire.
Calculer numériquement .
2.2.2.2. On définit l'aberration chromatique transversale d'une lentille comme le rayon de la plus petite tache lumineuse produite par les faisceaux bleu et rouge, interceptée par un écran disposé normalement à l'axe optique.
Exprimer pour (L), en fonction de la constringence et de , en supposant de plus que est quasiment la moyenne arithmétique de et . Commentaire.
Calculer la valeur de .

On réalise un objectif achromatique mince, en accolant la lentille (L) précédente biconvexe, de rayons de courbures et en verre crown avec une lentille ( ), plan-concave en verre de type flint, de sorte que les faces en contact aient le même rayon de courbure .

Les indices de réfraction des deux verres sont donnés par la loi de Cauchy :

Soient deux lentilles biconvexes et , de focales images respectives et , taillées dans le même verre flint d'indice , de même axe optique, dont les deux dioptres, pour chacune d'elles, ont en valeur absolue le même rayon, pour et pour . Les deux lentilles placées à une distance l'une de l'autre doivent permettre de réaliser un oculaire achromatique (Figure 3).
2.4.1. Déterminer, en fonction de et , les vergences de de et de cet oculaire en appliquant la formule de Gullstrand:

2.4.2. Calculer et en déduire les facteurs numériques et de l'expression: .
2.4.3. Quelles doivent être les relations, d'une part entre et si et d'autre part entre et si on veut éliminer l'aberration chromatique?
2.4.4. Calculer, dans les conditions de la question précédente, la valeur de pour avoir un oculaire de vergence .
2.4.5. On définit respectivement par ( ) et ( ) les foyers principaux objet et image pour les lentilles et .
2.4.5.1. Déterminer le foyer objet F (conjugué de dans ) et le foyer image conjugué de dans pour ce doublet en exprimant et en fonction de .
2.4.5.2. En prenant comme référence la distance entre les deux lentilles, reproduire la Figure 3 en positionnant les six foyers objet et image pour ce doublet.

L'objectif achromatique , assimilé à une lentille mince unique, est associé à cet oculaire pour réaliser une lunette astronomique (Figure 4).
2.5.1. Calculer le grossissement angulaire de cette lunette. (On assimilera l'oculaire à une lentille unique de vergence ).
2.5.2. Reproduire la Figure 4 et tracer le chemin suivi par le rayon incident (sous l'angle ) à travers et à la sortie de l'oculaire. On précisera les foyers et rayons secondaires utiles à la construction.

Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes: une partie «magnétostatique» avec détermination du champ magnétique et du potentiel vecteur créés par des courants, suivie d'une partie «phénomènes d'induction» étudiée dans l'approximation du régime quasi stationnaire.

Représentation des grandeurs scalaires : a, et vectorielles : En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : Notation du produit scalaire ( ) et vectoriel ( ) des deux vecteurs et .

Les neuf figures de la partie «Electromagnétisme» sont en page 11.
Relations d'analyse vectorielle :

Coordonnées cylindriques:
Fonction scalaire
Fonction vectorielle

On considère une distribution filiforme de courant dans le vide représentée sur la Figure 1', où nous avons porté le vecteur unitaire sur PM .
1.1.1. Exprimer le champ magnétique , créé en M par l'élément du courant d'intensité pris autour de P .
1.1.2. En déduire le champ magnétique créé en M par le circuit filiforme (C).
1.1.3. Quels sont les domaines de validité pour appliquer la loi de Biot-Savart ?

1.2.1.Énoncé et formulation du théorème d'Ampère sous sa forme intégrale. Application au cas des courants représentés sur la Figure 2'.
1.2.2. Donner le nom et la relation de la forme locale du théorème d'Ampère.

Les coordonnées cylindriques ( ) seront utilisées dans ce paragraphe 2.
2.1. Relations :
2.1.1. Montrer que, dans le cas d'un champ magnétique uniforme , en tout point M de l'espace tel que , le champ de vecteur défini par est un potentiel vecteur pour .
2.1.2. Calculer rot , puis rot et en déduire la valeur de .

Un conducteur rectiligne cylindrique illimité, de rayon , d'axe de révolution , est parcouru par un courant volumique uniforme et dirigé de ' vers . Un point M de l'espace est repéré par ses coordonnées cylindriques (Figure 3').
2.2.1.Examiner les éléments de symétrie et d'invariance de ce conducteur cylindrique qui ont une conséquence sur les modules et directions du champ magnétique et du potentiel vecteur .
2.2.2. Déterminer, en appliquant le théorème d'Ampère, le champ magnétique en tout point M intérieur et extérieur au conducteur. Nous poserons pour et pour . Tracer l'allure de la courbe de , où .
2.2.3. En déduire le potentiel vecteur en tout point M intérieur ( ) et extérieur ( ) au conducteur, à partir de la relation locale champ-potentiel sachant que , condition posée arbitrairement. Tracer l'allure de la courbe de .
2.2.4. Le potentiel pouvait-il se calculer à partir de la relation précédente ? Justifier votre réponse.

2.3.1. Une spire plane circulaire de centre O , d'axe , de rayon est parcourue par un courant stationnaire d'intensité . En un point de son axe, la spire est vue sous un angle de (Figure 4').
2.3.1.1. D'après les éléments de symétrie et d'invariance de la spire de courant, définir les variables dont dépendent le champ magnétique et le potentiel vecteur ainsi que leurs directions.
2.3.1.2. Calculer, à l'aide de la loi de Biot-Savart, le champ magnétique au point et le mettre sous la forme : où représente le champ magnétique au centre de la spire et une fonction trigonométrique de l'angle .
2.3.1.3. Exprimer le potentiel vecteur pour tout point de l'axe , dû à un élément de la spire, parcouru par un courant d'intensité . En déduire . Ce résultat est-il compatible avec l'étude menée en (2.3.1.1) pour ?
2.3.2. Un solénoïde de longueur finie , d'axe est constitué de spires coaxiales jointives, de rayon et parcourues dans le même sens par un courant stationnaire d'intensité . L'origine des coordonnées cylindriques est prise au milieu du solénoïde, et l'on désigne par le nombre de spires par unité de longueur (Figure 5').
2.3.2.1. Exprimer le champ magnétique créé par l'élément de solénoïde d'épaisseur dz.
2.3.2.2. En déduire le champ magnétique pour tout point M de l'axe du solénoïde, sachant que les spires des extrémités du solénoïde sont vues du point M sous les angles et .
2.3.3. Un solénoïde dont la longueur est très grande devant le rayon des spires est qualifié de «solénoïde infini».
2.3.3.1. Utiliser le résultat précédent pour exprimer le champ magnétique en tout point M de l'axe du «solénoïde infini».
2.3.3.2. Soit T un point quelconque à l'intérieur du solénoïde et situé à la distance de l'axe ( ) (Figure 6'). Par application du théorème d'Ampère au contour rectangulaire OTT'O'O de longueur OO' sur l'axe, évaluer le champ magnétique pour tout point T intérieur.
2.3.3.3. Soit U un point quelconque à l'extérieur du solénoïde, à la distance de l'axe (Figure 6'). Par un raisonnement analogue au précédent, appliqué au contour rectangulaire OUU'O'O, en déduire le champ magnétique pour tout point U extérieur.
2.3.3.4. En écrivant la relation locale champ-potentiel et à l'aide de la formule de Stokes, calculer les potentiels vecteurs pour tout point T intérieur ( ) et pour tout point U extérieur ( ).
2.3.3.5. Les potentiels et pouvaient-ils se calculer à partir de la relation précédente ? Justifier votre réponse.
2.3.3.6. Tracer les graphes de et des normes du champ magnétique et du potentiel vecteur respectivement.

Une spire plane circulaire de centre O , de rayon , est placée perpendiculairement au champ magnétique à l'intérieur du «solénoїde infini». Les spires jointives de rayon du solénoïde sont parcourues par le courant variable . (Figure 7').
3.1.1. Déterminer la f.é.m induite dans la spire en utilisant :
3.1.1.1. la loi de Faraday.
3.1.1.2. la circulation du champ local induit .
3.1.2. En déduire l'intensité du courant induit circulant dans la spire de résistance . Préciser le sens du courant dans la spire.

La spire, placée à l'intérieur du «solénoïde infini», tourne maintenant autour d'un axe fixe de son plan à une vitesse angulaire constante .
3.1.3. Un courant stationnaire d'intensité circule dans les spires jointives de rayon du solénoïde et crée un champ magnétique (Figure 8').
Calculer l'intensité du courant dans la spire, de résistance , lors de sa rotation.
3.1.4. Déterminer le champ magnétique variable qui annule, à chaque instant, le courant dans la spire dans les cas suivants :
3.1.4.1. a la direction constante de l'axe et un module variable.
3.1.4.2. a un module constant et une direction variable.

On négligera l'inductance propre du circuit.

Le circuit représenté en Figure 9' comprend, dans un montage en série : une roue de Barlow, un résistor de résistance , un condensateur de capacité et un interrupteur K .
Cette roue de Barlow, disque conducteur homogène de centre O , de rayon , de moment d'inertie par rapport à son axe de rotation, est soumise à un champ magnétique uniforme parallèle à l'axe de la roue. Un point P de sa périphérie est en contact avec un bain de mercure pour assurer le passage du courant tout en minimisant les actions mécaniques de frottement que l'on négligera. On suppose la roue parfaitement conductrice.

La roue est lancée avec une vitesse angulaire initiale . A l'instant de fermeture de , le condensateur porte la charge initiale sur la plaque reliée au résistor.
3.2.1. Parmi la répartition quelconque des lignes de courant entre O et P , nous représentons sur la Figure 9', celle qui passe par un point M en transportant un courant d'intensité di.
3.2.1.1. Exprimer la force de Laplace sur un élément de cette ligne de courant.
3.2.1.2. Déterminer le moment , en O , des forces électromagnétiques agissant sur la roue en fonction de et . Commenter le résultat obtenu.
3.2.1.3. Exprimer la f.é.m. induite en fonction de et .
(On utilisera, judicieusement, la circulation de ( )).
3.2.2.Établir les équations mécanique du mouvement de la roue et électrique du circuit. En déduire les lois d'évolution dans le temps de :
3.2.2.1. l'intensité que l'on mettra sous la forme : . Déterminer et en fonction de et .
3.2.2.2. la charge du condensateur sachant que .
3.2.2.3. la vitesse angulaire de la roue avec .
3.2.3. Quand devient très grand, et tendent respectivement vers et . Expliciter et en fonction de et .
3.2.4. On fixe la vitesse angulaire initiale à la valeur de façon que .
3.2.4.1. Montrer que la roue se comporte initialement comme un générateur pour toute valeur de .
3.2.4.2. A partir de quel instant , celle-ci deviendra-t-elle un récepteur?

Figure 5'