NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

PARTIE A - OPTIQUE

Ce problème traite de l'observation de deux étoiles

à l'aide d'une lunette astronomique munie d'un détecteur. Les deux étoiles

sont considérées ponctuelles et à l'infini, séparées par une distance angulaire

, l'étoile

étant située dans la direction de l'axe optique de la lunette.
Dans une première partie, on définit la configuration de la lunette utilisée dans les conditions de Gauss et on demande de calculer ses caractéristiques géométriques.
La deuxième partie étudie la tache de diffraction produite par la lunette et évalue la limite de résolution de l'instrument définie comme la plus petite distance angulaire entre deux étoiles décelable.
Enfin, la troisième partie aborde le principe de la mesure de la distance angulaire entre deux étoiles effectuée grâce aux interférences produites par deux fentes placées devant la lunette astronomique.
NB : la distance algébrique entre un point

et un point

est notée

.
Les figures sont rassemblées en pages 5 et 6 .

I-Etude géométrique

On néglige dans cette partie les effets de la diffraction. On considère une lunette astronomique d'axe optique

(Figure 1) constituée d'un objectif assimilé à une lentille mince convergente

de diamètre

et de distance focale image

associé à une lentille divergente

de distance focale image

. On désigne respectivement par

, par

, les centres optiques, les foyers objet et image des lentilles

Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2 , respectivement émises par les étoiles et , lorsqu'elles parviennent sur la lunette?
On appelle l'image de l'étoile à travers la lentille . De même, désigne l'image de à travers .
a) Dans quel plan se situent et ? Donner la distance algébrique .
b) La lentille est placée peu avant le plan où se forment les images et . On appelle respectivement et , les images de et à travers la lunette. Sachant que , exprimer et calculer la distance .
On définit la distance focale de la lunette par la relation .
a) Calculer la distance focale de la lunette.
b) Exprimer . Comment évolue l'encombrement de la lunette par rapport au cas où seule la lentille existerait ? Quel est l'intérêt de la lentille ?
On place dans le plan où se forment les images et , une caméra à DTC (Dispositif à Transfert de Charge). Ce récepteur d'images est composé d'une matrice rectangulaire de détecteurs élémentaires, appelés pixels, de forme carrée, de côtés . On suppose que la lunette est librement orientable.
Une image parfaite à travers la lunette d'un point situé à l'infini, produit sur le détecteur un signal donnant une image dont la dimension ne peut être inférieure à la taille d'un pixel. Exprimer et calculer en seconde d'arc, la limite de perception angulaire due au récepteur d'image. Quelle est la plus grande valeur décelable en minute d'arc?

II - Pouvoir séparateur de la lunette dû à la diffraction

A. Préliminaires

On considère une onde plane monochromatique de longueur d'onde

éclairant dans le plan

un diaphragme

de centre

dont la pupille est caractérisée en chaque point

par un coefficient de transmission en amplitude complexe

. On étudie l'éclairement en un point

d'un plan

dont l'intersection avec l'axe

est notée

(figure 2).

Enoncer le principe de Huygens-Fresnel. On se place dans le cadre de la diffraction à l'infini. Quelles hypothèses doit-on faire sur les distances et ?
Afin d'observer la figure de diffraction à l'infini, on place une lentille convergente de foyer image , de distance focale image derrière l'ouverture diffractante. On considère les rayons diffractés dans la direction du vecteur unitaire de coordonnées ( ) (figure 3). Dans quel plan convergent ces rayons? On associe un système d'axes à ce plan. Exprimer les coordonnées ( ) du point où convergent ces rayons en fonction de .
Dans le cas d'une onde incidente plane sur le diaphragme , de direction caractérisée par un vecteur unitaire de coordonnées , le principe de Huygens-Fresnel permet d'écrire, en attribuant une phase nulle en à l'onde qui provient de , l'amplitude complexe de l'onde au point , sous la forme : où est une constante, un élément de la surface de la pupille entourant , l'intégrale étant étendue à toute la surface du diaphragme.
On déplace le diaphragme parallèlement à lui-même, dans le même plan, le centre du diaphragme occupant alors une position . On appelle ( ) les coordonnées de ; montrer que l'amplitude en peut alors s'écrire : et exprimer la fonction sous la forme d'un produit scalaire de 2 vecteurs que l'on précisera.

B. Application : diffraction par la lunette

On place devant l'objectif de la lunette un écran comportant une ouverture ayant la forme d'un carré centré en de côtés parallèles aux axes et , de dimension (figure 4). On considère l'étoile seule supposée ponctuelle. On utilise un filtre sélectif permettant d'assimiler l'étoile à une source qui émet une onde monochromatique de longueur d'onde 。
a) Quel est l'élément diffractant? Exprimer l'amplitude diffractée par l'ouverture carrée dans la direction de vecteur unitaire de coordonnées ( ), en un point du plan focal image de l'objectif .
b) Donner alors l'éclairement en sous la forme :

Exprimer et tracer

. Donner

en fonction de

.
c) Montrer que la figure de diffraction est formée d'une tache centrale brillante entourée de lumière plus faible répartie en franges (pieds de la figure de diffraction). Où se situe le centre de la figure de diffraction? Quelle est la valeur de

pour laquelle

s'annule pour la première fois? En déduire la largeur de la tache centrale.
d) Comment évolue la figure de diffraction lorsque l'ouverture carrée devient une fente de dimension

suivant l'axe

, avec

. Exprimer alors l'amplitude diffractée

et l'éclairement

en un point

de l'axe

.
2. L'étoile

située à la distance angulaire

de l'étoile

est observée à l'aide de la lunette toujours munie de l'ouverture carrée de telle façon que l'image géométrique

à travers l'objectif

se forme sur l'axe

. L'étoile

est également assimilée à une source lumineuse ponctuelle monochromatique de longueur d'onde

émettant une onde plane caractérisée par le vecteur unitaire

de coordonnées

.
a) Donner la relation entre

.
b) En supposant que seule l'étoile

est observée, exprimer l'éclairement

. Quel est le centre et l'allure de la tache de diffraction?
3. Les étoiles

sont observées simultanément et sont d'éclat comparable.
a)

étant deux sources incohérentes, que peut-on dire de l'éclairement total dans le plan focal image de

? Quelle est l'allure de la figure de diffraction?
b) Sachant que deux taches de diffraction apparaissent comme séparées lorsque le maximum central de l'une coïncide avec le premier minimum nul de l'autre suivant l'axe

, estimer le plus petit écart angulaire

décelable (en seconde d'arc) que l'on appelle pouvoir de séparation de la lunette pour la longueur d'onde

.
c) En supposant que

ne limite pas le faisceau, comparer la dimension d'un pixel et la largeur de la tache centrale de diffraction formée sur le détecteur. Conclusion?

III - Interférences

On considère une onde plane monochromatique de longueur d'onde

se propageant suivant l'axe

en direction de la lunette. On place un écran opaque percé de 2 fentes de largeur

, d'écartement variable

devant l'objectif de la lunette toujours muni de l'ouverture, de forme carrée, de côté

du B.1, avec

. On appelle

les centres des deux fentes (figure 5). On attribue une phase nulle au point

du plan focal de l'objectif à l'onde qui provient de

a) Calculer l'amplitude complexe en un point de l'axe , notée de l'onde diffractée par la fente 1 dans la direction de vecteur unitaire ( ).
b) Exprimer l'amplitude en , notée de l'onde diffractée dans la direction u par la fente 2 en fonction de et d'une fonction que l'on exprimera.
c) Que peut-on dire de la figure de diffraction donnée par chacune des fentes considérées séparément?
a) Sachant que les deux fentes, éclairées par une même onde, se comportent comme des sources cohérentes, montrer que l'éclairement en est donné par :

étant l'éclairement diffracté par chaque fente si elle était seule et

une fonction à préciser.
b) Tracer

. Montrer que l'on obtient des franges d'interférences «à l'intérieur de la figure de diffraction ». Calculer l'interfrange. Que se passe-t-il si les fentes sont infiniment fines?
3. On se place dans l'hypothèse où les fentes sont infiniment fines et on observe à l'aide de la lunette les étoiles voisines

.
a) Quelle est la distance dans le plan focal de

entre les centres des figures d'interférences données par

? On fait varier la distance

. Quelle est la condition pour observer le brouillage des franges ?
b) Donner alors la relation entre

Quelle est la valeur de

qui permet de déceler la distance angulaire

la plus petite ? Calculer

pour

Figure 1 - lunette astronomique

Figure 2

Figure 3

Figure 4

Figure 5

PARTIE B - Electromagnétisme

Ce problème examine quelques propriétés des supraconducteurs du seul point de vue de la magnétostatique. Au passage, il met en évidence celles de ces propriétés qui correspondent à celles des conducteurs parfaits. On donne

I - Préliminaires

I. 1 Superposition d'un champ uniforme et de celui d'un dipôle

On considère la superposition d'un champ uniforme

et du champ

créé par un dipôle magnétique de moment

placé à l'origine des coordonnées qui s'écrit, au point

repéré par ses coordonnées sphériques

sont reliés par

où

est une longueur donnée.

Expliciter, pour cette valeur de , le champ en fonction de et .
Calculer le produit scalaire en un point quelconque.
En déduire que est tangent à la sphère de rayon et de centre en chacun de ses points. Où l'intensité du champ au voisinage de la sphère est-elle maximale ?
Donner un tracé approximatif des lignes de champ de à l'extérieur de cette sphère.

I. 2 Moment magnétique d'une distribution sphérique de courant

On considère la nappe surfacique de courant

sinon.

Déterminer a priori la direction du champ créé par la distribution au centre de la sphère.
Calculer ce champ . Dans la suite, on admettra que le champ créé par la distribution prend en tout point intérieur à la sphère la même valeur qu'au centre.
Donnée : .
Quel est le moment magnétique d'une tranche de la distribution de courant comprise entre les angles et ?
Calculer le moment magnétique total de la nappe de courant .

II - Sphère supraconductrice dans un champ magnétique

L'état supraconducteur parfait d'un matériau, obtenu pour une température inférieure à une température critique

et pour une intensité du champ magnétique appliqué inférieure à une valeur critique

, est caractérisé par

en tout point intérieur.
Une sphère, remplie d'un matériau à l'état de supraconducteur parfait, est placée dans un champ magnétique

initialement uniforme. L'intersection de cette sphère de centre

et de rayon

avec le plan

est appelée cercle équatorial.

II. 1 Propriétés du courant et du champ. Conséquences.

En utilisant la forme locale du théorème d'Ampère, montrer que, dans un supraconducteur parfait en régime stationnaire, le courant volumique est nul.
(a) Rappeler la relation vectorielle de continuité de la composante normale du champ à la traversée d'une surface séparant deux milieux 1 et 2 (on notera la normale à la surface orientée de 1 vers 2).
(b) En déduire qu'en présence de la sphère supraconductrice (milieu 1) le champ extérieur est tangent à sa surface en chacun de ses points.
(c) Quelle est la propriété correspondante du champ électrique au voisinage d'un conducteur?
(a) Rappeler la relation vectorielle de discontinuité de la composante tangentielle du champ B traduisant le théorème d'Ampère au voisinage de la surface.
(b) En déduire qu'il existe sur la surface de la sphère une nappe de courant surfacique .
(c) Quel est le théorème d'électrostatique correspondant pour le champ électrique au voisinage d'un conducteur?
On admet que le champ prend à l'extérieur de la sphère, la valeur trouvée en I.1.1. Exprimer en fonction de .
En déduire le champ créé dans la sphère par cette distribution. Conclure.
A.N. : . Calculer .
Expliciter le moment magnétique induit acquis par la sphère supraconductrice dans le champ en fonction de et de .
A.N. : calculer pour et .

II. 2 Rupture de supraconductivité. Etat intermédiaire

A température fixée, la supraconductivité cesse si la norme du champ au voisinage de la surface atteint une valeur critique

. Dans l'état normal (non supraconducteur) le niobure d'étain se comporte comme un conducteur usuel non magnétique. Pour le niobure d'étain à

En quel endroit de la surface se produira en premier ce phénomène ?
Quel est le courant surfacique critique correspondant dans le niobure d'étain à 18 K ?
Quel est le champ maximum que l'on peut appliquer sans qu'il se produise?
Pour cette valeur du champ appliqué, quel devrait être le champ au niveau du cercle équatorial si la sphère était entièrement dans l'état normal ? En déduire que pour cette valeur de , la sphère ne peut pas être entièrement dans l'état normal.
Calculer en fonction de , la valeur du champ pour laquelle cet état intermédiaire cesse et pour laquelle la sphère est entièrement à l'état normal.

II. 3 Lévitation magnétique

Une sphère à l'état supraconducteur parfait est placée dans un champ magnétique

Montrer que si le champ est uniforme, la force résultante exercée par le champ appliqué sur les courants surfaciques est nulle.
On augmente le champ appliqué de . On admet que la variation de l'énergie potentielle d'interaction du dipôle avec le champ s'écrit . En déduire en fonction de .
Le champ n'est plus uniforme mais varie faiblement sur une distance de l'ordre de grandeur du rayon de la sphère. Montrer par un raisonnement énergétique que cette dernière est repoussée vers les régions de plus faible champ (lévitation magnétique).

Fin de l'énoncé.