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CCINP Physique 1 PC 2012

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CCINP PC CCINP 2012 PC Physique Physique 2012

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du résultat.

Problème I

Optique

Il existe de petits gobelets amusants (figure I.1.a) possédant la propriété suivante :

en l'absence de liquide, le fond du gobelet est constitué d'une lentille sphérique qui ne laisse rien apparaître (figure I.1.b);
en présence de liquide, une image nette apparaît (figure I.1.c).

Figure I. 1

L'objet de ce problème est de proposer une modélisation simple de ce phénomène optique. Les conditions de l'optique de Gauss seront supposées satisfaites tout au long du problème. Les figures ne sont pas à l'échelle. Les valeurs numériques considérées dans ce problème sont réalistes. L'approximation des lentilles minces n'est, en revanche, pas vraiment justifiée dans le contexte.

I. 1 Visibilité d'un objet situé dans le plan focal objet

Sur un banc d'optique (figure I.2) sont alignés un objet plan BB', coupant l'axe optique en un point A et une lentille mince convergente L1 située au point S. B et B' sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe optique. La figure représente le foyer principal objet F , confondu avec A , ainsi que le foyer principal image

. L'oeil d'un observateur est placé en un point O de l'axe optique. La pupille de l'oeil est représentée comme un disque centré en O , de diamètre PP '. Le bord de la lentille est un cercle, assimilable à un diaphragme DD '. Le diamètre de l'objet BB ' est identique à celui du diaphragme DD '.

Données :

Figure I. 2 : montage de la lentille L1 (échelle non respectée)

- I.1.1

Rappeler les hypothèses de l'approximation de Gauss en optique géométrique.

- I.1.2

Reproduire soigneusement la figure I.2. Construire graphiquement l'allure de deux rayons issus de B et traversant la lentille.
Faire de même avec deux rayons issus de B'. Réaliser un tracé de taille suffisante, de l'ordre de la moitié de la largeur de la feuille.

- I.1.3

Lorsque l'objet est situé dans le plan focal objet de la lentille, l'image se forme à l'infini et seule une fraction minime des rayons issus de l'objet est captée par la pupille de l'oeil PP'. Il s'agit d'estimer cette fraction. Soit un point E , défini par :

E appartient au plan de l'objet BB ' ;
le rayon issu de E , passant par le bord inférieur D du diaphragme, est réfracté en un rayon passant par le bord supérieur P ' de la pupille de l'oeil.
De même, le point E ', symétrique de E par rapport à l'axe optique, est défini par les propriétés suivantes :
E' appartient au plan de l'objet ;
le rayon issu de E ', passant par le bord supérieur du diaphragme, est réfracté en un rayon D'P passant par le bord inférieur P de la pupille de l'oeil.

Reproduire soigneusement la figure I.2. Placer les points E et E ', obtenus à l'aide du tracé des rayons PD'E' et P'DE. Pour plus de clarté, on tracera une figure distincte de celle de la question I.1.1.

- I.1.4

A l'aide du schéma précédent, déduire l'expression de la distance EE ' en fonction des distances

' et PP '. Calculer numériquement EE '. Puis donner la fraction d'aire, définie par le rapport

, de l'objet visible par l'oeil placé au point O .

I. 2 Visibilité d'un objet situé entre le plan focal et la lentille

Figure I. 3 : montage de la lentille L2 (échelle non respectée)

La figure I. 3 représente un montage analogue à celui de la figure I.2. La lentille L1 a été remplacée par une lentille L 2 moins convergente. L'objet BB ' coupe l'axe en un point A distinct du foyer principal objet F . La distance

est encore égale à -12 mm , tandis que la distance focale

de la lentille L2 est désormais de 36 mm (figure I.3).

La formule de conjugaison d'une lentille convergente, de distance focale

située en S , entre un point objet

de l'axe et son image

est rappelée :

- I.2.1

Déterminer par le calcul la position de l'image

' de l'objet BB '.
Calculer le grandissement

', et la taille de l'image

.
L'image est-elle réelle ou virtuelle?

- I.2.2

Calculer la distance entre l'oeil et le plan image

'.
En déduire que le diaphragme DD' masque une partie de l'image

' à l'observateur dont l'oeil est situé en O.
Estimer, dans l'approximation où les points

et P ' sont confondus, la fraction surfacique

de l'image

' visible par l'oeil de l'observateur situé en O .

I. 3 Distance focale de lentilles minces accolées

Le modèle proposé pour décrire la situation représentée sur la figure I.1.b (absence de liquide) est celui d'une lentille mince plan-convexe de rayon de courbure

(figure I.4.a, page suivante). La lentille est constituée de verre d'indice

entourée d'air d'indice

. Le modèle proposé pour décrire la situation représentée sur la figure I.1.c (présence de liquide) est la succession d'un dioptre plan entre un milieu d'indice

et d'indice

, d'un dioptre sphérique de rayon de courbure

entre un milieu d'indice

et un milieu d'indice

, puis d'un second dioptre plan entre le milieu d'indice

et le milieu d'indice

(figure I.4.b).

Figure I. 4

- I.3.1

On donne la formule de conjugaison correspondant à la succession de dioptres représentés sur la figure I.4.a :

où

représente la distance algébrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre sphérique, représenté sur la figure I.4.c.
Reconnaître la distance focale

de la lentille convexe dans l'expression ci-dessus et calculer sa valeur numérique.
Données :

- I.3.2

On donne la formule de conjugaison correspondant à la succession de dioptres représentés sur la figure I.4.b :

où

représente la distance algébrique entre le centre de courbure et le sommet du dioptre sphérique, représenté sur la figure I.4.c.
Reconnaître la distance focale

de la lentille plane dans l'expression ci-dessus et calculer sa valeur numérique.
Données :

- I.3.3

L'objet à observer est situé à une distance de 12 mm sous la lentille (voir schéma de la vue en coupe du gobelet sur la figure I.5).
Pourquoi ne voit-on rien en l'absence de liquide?
Pouquoi l'image devient-elle visible lorsque l'on remplit le verre?

Figure I. 5

Problème II

Modèles d'ÉLECTRON ÉLASTIQUEMENT LIÉ ET POUVOIR ROTATOIRE D'UN MILIEU

Les grandeurs pointées

désignent respectivement les dérivées temporelles première et seconde de la grandeur

considérée. Les grandeurs complexes sont soulignées. Dans tout le problème,

représente la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.
Données :

masse de l'électron : ;
;
vitesse de la lumière .

II. 1 Oscillations unidimensionnelles

Un électron assimilé à une charge négative ponctuelle

, de masse

, est animé d'un mouvement rectiligne le long d'un axe

. L'électron est soumis à un champ électrique sinusoïdal

à l'origine d'une force électrique

, à une force de rappel élastique

et à une force d'amortissement visqueux

, où

est le vecteur vitesse et qui s'exprime dans cette partie comme

. La force de rappel élastique représente et remplace, de façon qualitative, l'attraction électrostatique qu'exerce une charge positive immobile située à l'origine

de l'axe

tenant lieu de noyau atomique (figure II.1).

Figure II. 1

- II.1.1

L'électron est soumis uniquement à la force de rappel élastique

. Donner l'expression, en fonction de

, de la pulsation caractéristique

des oscillations libres de l'électron. Que se passe-t-il si un champ électrique de fréquence

est appliqué ?

- II.1.2

Donner l'expression de l'énergie potentielle élastique

, associée à la force de rappel

et définie de façon à ce que

.
Déterminer la valeur numérique qu'il faut donner à la constante de raideur

pour que l'énergie potentielle

d'un électron situé à distance

soit égale à

. En déduire la pulsation caractéristique

et la fréquence fondamentale

de vibration associées à cette valeur de

- II.1.3

Exprimer le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron lorsque celui-ci est soumis aux trois forces

. Projeter la relation sur l'axe

. On pourra introduire le paramètre

- II.1.4

Une solution du mouvement de l'électron est recherchée sous la forme

où

est une grandeur complexe, en présence d'un champ électrique complexe

et où

Déterminer, pour une fréquence quelconque

du champ électrique appliqué, l'expression de

en fonction de

.
En déduire l'amplitude des oscillations de

- II.1.5

Alors que l'électron oscille, on introduit le vecteur moment dipolaire

, ainsi que la grandeur complexe

associée.
Donner l'expression du facteur de polarisabilité

associé au modèle d'électron élastiquement lié considéré dans cette partie.

II. 2 Induction dans une boucle circulaire

Soit une boucle conductrice circulaire plane, de rayon

et d'épaisseur négligeable, placée perpendiculairement à un champ magnétique

(figure II.2).

Figure II. 2

- II.2.1

La boucle conductrice est soumise à un flux magnétique variable. La boucle est assimilée à un circuit électrocinétique associant en série une résistance interne (

), une inductance (

) et un générateur de tension variable

. La tension

représente la force électromotrice (f.é.m) d'induction associée au champ magnétique variable extérieur

. Le sens conventionnel du courant dans le circuit est choisi de façon à ce que le vecteur unitaire normal à la boucle plane fermée orientée soit égal à

.
Tracer le schéma électrocinétique correspondant à une résistance, un générateur et une inductance en série.
Donner l'équation différentielle à laquelle obéit le courant

induit dans la boucle par la f.e.m d'induction

- II.2.2

Définir le flux magnétique

traversant la boucle.
Exprimer la relation liant

au flux

traversant la boucle conductrice. Préciser la convention utilisée : générateur ou récepteur.

- II.2.3

En raisonnant à l'aide des grandeurs complexes associées, déterminer l'intensité

parcourant la boucle en présence de

- II.2.4

Le moment magnétique

de la boucle parcourue par un courant

est défini comme :

Comment, pour une fréquence

donnée, la grandeur complexe

associée à

est-elle liée a

II. 3 Mouvement circulaire d'une charge électrique

On rappelle l'expression des équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et de courants :

Le but de cette partie est d'étudier l'effet d'un champ magnétique

uniforme et oscillant sur le mouvement d'une charge électrique

astreinte à se déplacer sur un cercle de rayon

(figure II.3). Le mouvement de la particule est repéré à l'aide de coordonnées cylindriques (

) et les grandeurs vectorielles exprimées, soit à l'aide du repère local associé aux coordonnées cartésiennes

, soit à l'aide du repère local associé aux coordonnées cylindriques

Figure II. 3

- II.3.1

Soit un champ électrique :

où (

) sont les coordonnées cartésiennes d'un point quelconque de l'espace considéré et le symbole

représente le produit vectoriel.
Vérifier que la paire de champs

vérifie les trois premières équations de Maxwell.

- II.3.2

Montrer que la quatrième équation n'est vérifiée que si le terme de déplacement

est négligé.

À quelle approximation classique de l'électromagnétisme correspond l'hypothèse où

est négligeable?

- II.3.3

La charge reste à distance

de l'origine du repère. L'estimation dimensionnelle, dans le cas général, du terme

est

. Quelle est l'estimation dimensionnelle du terme

? En déduire que le rapport :

demeure inférieur à

pourvu que la fréquence de variation

soit inférieure à

, fréquence caractéristique que l'on exprimera. Donner la valeur numérique de

lorsque

- II.3.4

On admet que la paire (

) constitue une solution acceptable des équations de Maxwell. La question se pose de déterminer l'influence de ce champ électromagnétique sur le mouvement circulaire de la charge

, de coordonnées cylindriques

.
Donner l'expression de la force de Lorentz

qui s'exerce sur la charge lorsque celle-ci est animée d'une vitesse

, en fonction de

- II.3.5

Le mouvement de la particule chargée le long de sa trajectoire circulaire se ramène à l'étude de l'angle polaire

en fonction du temps.
Exprimer, dans le repère local de coordonnées cylindriques (

), les composantes de la vitesse et de l'accélération.

- II.3.6

La particule chargée est soumise à la force de Lorentz

, à la force d'amortissement visqueux

ainsi qu'à une force de réaction normale à la trajectoire

, dont la composante suivant

est nulle.
En projetant le principe fondamental de la dynamique suivant la direction

, établir l'équation différentielle du mouvement de la particule portant sur

- II.3.7

L'intensité d'un courant électrique parcourant une trajectoire circulaire n'est rien d'autre qu'une quantité de charge électrique passant en un point de référence de la boucle par unité de temps. Cela suggère une relation entre la vitesse angulaire de déplacement de la charge

et l'intensité

parcourant la boucle :

Montrer que l'équation différentielle portant sur

est équivalente à l'équation obtenue aux questions II.2.1 et II.2.2, à condition de définir de façon appropriée la valeur de la résistance

et de l'inductance

. Donner les expressions, en fonction de

, des résistance et inductance équivalentes

- II.3.8

Justifier, à l'aide de l'analogie précédente, la définition suivante du moment magnétique instantané

associé au déplacement de la charge le long de sa trajectoire circulaire :

II. 4 Mouvement hélicoïdal d'une charge électrique

Une courbe hélicoïdale (en hélice, figure II.4) est définie par le jeu d'équations paramétriques cylindriques (

) suivant :

Figure II. 4

La courbe hélicoïdale se confond avec une boucle circulaire lorsque le paramètre

est nul. Elle tend vers une courbe rectiligne lorsque

. La courbe hélicoïdale ne possède aucun plan de symétrie ni centre d'inversion. Cela confère au mouvement d'une charge électrique, le long de son contour, des propriétés remarquables vis-à-vis de l'excitation par un champ électromagnétique.

La trajectoire hélicoïdale représente une approximation classique du mouvement d'un électron autour d'un atome appartenant à une molécule chirale, susceptible de conférer, lorsqu'une des formes énantiomères est pure, un pouvoir rotatoire à une solution transparente contenant cette molécule.

Soit une charge mobile le long de l'hélice soumise simultanément à une force de Lorentz

, à une force d'amortissement visqueux

et à une force de rappel élastique

. De plus, une force de réaction normale à la trajectoire

maintient la particule chargée sur sa trajectoire hélicoïdale.

La force de Lorentz provient de la contribution de deux composantes électromagnétiques : d'une part le champ

étudié au cours de la partie II. 1 et d'autre part la paire de champs

étudiée dans la partie II.3. Il existe bien sûr une composante

associée au premier des deux champs électriques. Mais elle n'intervient pas dans l'étude de la trajectoire de la charge, si bien que l'on n'en tient pas compte.

On notera que

s'exprime également dans le repère local associé aux coordonnées cylindriques comme :

- II.4.1

Exprimer la vitesse de la particule chargée dans le repère local de coordonnées cylindriques. En déduire la valeur de l'énergie cinétique de la particule en fonction de

- II.4.2

Donner les expressions de la puissance de la force de rappel élastique

, de la puissance de la force de réaction normale à la trajectoire

et de la puissance de la force d'amortissement visqueux

- II.4.3

Donner l'expression de la puissance de la force de Lorentz

associée aux champs

- II.4.4

Enoncer, puis appliquer le théorème de la puissance cinétique à la particule chargée. Montrer que l'équation différentielle à laquelle obéit la variable

est donnée par :

- II.4.5

Calculer l'amplitude complexe

des oscillations de

induites, en régime permanent, par les composantes

du champ électromagnétique extérieur.

- II.4.6

Le déplacement spatial de la charge est décomposé en une composante de moment dipolaire

et une composante de moment magnétique

définies comme suit :

Montrer que

obéissent au système linéaire suivant :

Donner l'expression des trois coefficients complexes

. On posera, pour simplifier l'écriture des résultats :

- II.4.7

Comment changent les coefficients

lorsque le pas de l'hélice est inversé, c'est-à-dire lorsque l'on change

II. 5 Pouvoir rotatoire

Soit un milieu dont les densités volumiques de moment électrique

et magnétique

vérifient les relations linéaires :

Les grandeurs

sont considérées comme des constantes. La constante

représente la permittivité diélectrique du milieu et

celle du vide. Il est admis, sans démonstration, que la quatrième équation de Maxwell devient :

tandis que les trois autres équations restent inchangées. Dans cette partie, les deux identités mathématiques suivantes sont utiles :

où

est ici un vecteur indépendant de

, et :

- II.5.1

L'étude porte, dans cette question, sur un milieu diélectrique ordinaire caractérisé par

.
Montrer qu'une onde électromagnétique

se propage dans le milieu à une célérité

à déterminer en fonction de

, puis de

- II.5.2

Dans le cas plus général pour lequel

, établir, à l'aide des équations de Maxwell rappelées précédemment, la relation suivante :

- II.5.3

En déduire l'équation de propagation portant sur

- II.5.4

Montrer que l'onde polarisée circulairement

se propage dans le milieu à condition de vérifier une relation de dispersion liant

à déterminer.

- II.5.5

Etablir de la même façon la relation de dispersion associée à la propagation de l'onde :

- II.5.6

Exprimer la différence