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SESSION 2002
CONCOURS COMMUNS POLYYECHNIQES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
A. Thermodynamique: étude d'un climatiseur pour avion pressurisé
Les avions de ligne actuels subissent des conditions variées. Dans ce problème, on considérera deux situations :
- Altitude de croisière (de l'ordre de 10000 m ) : l'air est très froid (température extérieure
) et la pression très faible (pression extérieure ). - Au sol : la pression est normale (
), mais il peut être nécessaire de refroidir la cabine en été ou dans les pays chauds. On prendra .
D'autre part, pour assurer le confort des passagers, il faut renouveler l'air dans l'avion. Le débit volumique à fournir estlitres par minute et par passager, à une pression (pour simplifier, on considère que cette valeur ne varie pas avec l'altitude de l'avion) et une température . C'est le but de l'appareil étudié dans ce problème, qui sera nommé conditionneur d'air dans la suite, que de prélever l'air à l'extérieur et de faire circuler le débit prescrit en maintenant l'air de la cabine à la température et à la pression .
Dans une première partie, on analyse les pertes thermiques et on effectue un bilan énergétique de l'air de la cabine. Dans une deuxième partie, on cherche le travail minimal à fournir pour mainteniret , avec le débit d'air présent. Enfin, la troisième partie est une étude d'un dispositif effectivement utilisé. Dans tout le problème, on n'envisagera que le régime stationnaire.
A.I. Bilan énergétique de la cabine
On assimile la cabine à un cylindre de diamètre intérieur
De plus, chaque passager dégage une puissance thermique
De plus, chaque passager dégage une puissance thermique
Figure 1 : Schéma de la cabine
A.I.1) Écrire explicitement l'unité de
A.I.2) On s'intéresse d'abord aux parois de la base du cylindre. En supposant que la température en un point de la paroi n'est fonction que de la variable
A.I.3) Pour le transfert à travers la paroi cylindrique, on suppose que la température ne dépend que de la distance p à l'axe du cylindre. Calculer de nouveau
A.I.4) En déduire que la puissance thermique totale
Exprimer a et donner sa valeur numérique.
A.I.2) On s'intéresse d'abord aux parois de la base du cylindre. En supposant que la température en un point de la paroi n'est fonction que de la variable
A.I.3) Pour le transfert à travers la paroi cylindrique, on suppose que la température ne dépend que de la distance p à l'axe du cylindre. Calculer de nouveau
A.I.4) En déduire que la puissance thermique totale
Exprimer a et donner sa valeur numérique.
Figure 2 : Échanges d'énergie dans la cabine
A.I.5) On désigne par
A.II.. Travail minimum à fournir pour climatiser et pressuriser l'avion.
Le système de conditionnement d'air prend l'air à l'extérieur (pression
Dans toute la partie A.II, on considère une transformation idéale effectuée sur un système thermodynamique S constitué par l'air circulant dans le conditionneur pendant
Au cours de la transformation, le système S reçoit la chaleur
Dans toute la partie A.II, on considère une transformation idéale effectuée sur un système thermodynamique S constitué par l'air circulant dans le conditionneur pendant
Au cours de la transformation, le système S reçoit la chaleur
Figure 3 Schéma de la transformation idéale.
A.II.1) Exprimer
A.II.2) Calculer n en fonction du nombre de passagers Np , de
A.II.3) Évaluation du travail des forces de pression
a) En considérant que l'air extérieur pousse le système S , soit un volume initial
b) Calculer de même le travail
c) En déduire que l'on peut écrire le bilan énergétique de la transformation sous la forme
A.II.4) Enthalpie du système S :
a) Calculer
b) Écrire la variation d'enthalpie
c) En déduire une relation entre
A.II.5) Bilan entropique pour le système S :
a) L'entropie du gaz parfait est de la forme
Donner les expressions de
b) Écrire le bilan entropique de la transformation.
c) En déduire une inégalité reliant
A.II.6) En déduire la puissance utile
A.II .7) Application numérique pour un avion en altitude et un avion au sol en utilisant les données de l'introduction, toujours avec 150 passagers.
A.II.2) Calculer n en fonction du nombre de passagers Np , de
A.II.3) Évaluation du travail des forces de pression
a) En considérant que l'air extérieur pousse le système S , soit un volume initial
b) Calculer de même le travail
c) En déduire que l'on peut écrire le bilan énergétique de la transformation sous la forme
A.II.4) Enthalpie du système S :
a) Calculer
b) Écrire la variation d'enthalpie
c) En déduire une relation entre
A.II.5) Bilan entropique pour le système S :
a) L'entropie du gaz parfait est de la forme
Donner les expressions de
b) Écrire le bilan entropique de la transformation.
c) En déduire une inégalité reliant
A.II.6) En déduire la puissance utile
A.II .7) Application numérique pour un avion en altitude et un avion au sol en utilisant les données de l'introduction, toujours avec 150 passagers.
A.III. Machine utilisée
Mélangeur Figure 4 : Schéma (simplifié) du conditionnement d'air d'un avion de ligne
Dans la partie A.II, on ne s'est pas préoccupé de la manière pratique de réaliser les échanges d'énergie considérés. En fait, dans un avion, il peut être plus important d'économiser du poids que de l'énergie. Aussi la machine utilisée pour la pressurisation et la climatisation a été retenue pour sa simplicité ; elle n'est pas conçue pour un rendement optimal. On étudie donc dans cette partie un appareil qui réalise une transformation qui est assez éloignée de la transformation idéale de A.II. Dans toutes les transformations, on néglige la vitesse globale d'entraînement du gaz. On se place toujours en régime stationnaire.
Dans l'appareil effectivement utilisé dans les avions de lignes actuels, l'air de pressurisation est prélevé sur les compresseurs des moteurs (turboréacteurs). Pour simplifier, on supposera qu'il n'y a qu'un compresseur entraîné par une puissance mécanique utile
Le système
Dans l'appareil effectivement utilisé dans les avions de lignes actuels, l'air de pressurisation est prélevé sur les compresseurs des moteurs (turboréacteurs). Pour simplifier, on supposera qu'il n'y a qu'un compresseur entraîné par une puissance mécanique utile
Le système
Le système
Enfin, les deux systèmes sont finalement mélangés de manière isobare, ce qui les amène à la température finale
A.III . 1 ) Quelle doit être cette température
A.III .2) Étude des transformations de compression et de détente (compresseur, turbine et vanne de détente) : on suppose que toutes ces transformations sont adiabatiques. Au cours de ces transformations, le gaz reçoit un travail utile
a) En appliquant le raisonnement du A.II.3) à ces transformations, trouver une relation entre le travail utile et les températures initiale
b) On suppose de plus que, aussi bien pour le compresseur que pour la turbine, la transformation est réversible. En déduire que l'on a, pour ces deux transformations : ,
Enfin, les deux systèmes sont finalement mélangés de manière isobare, ce qui les amène à la température finale
A.III . 1 ) Quelle doit être cette température
A.III .2) Étude des transformations de compression et de détente (compresseur, turbine et vanne de détente) : on suppose que toutes ces transformations sont adiabatiques. Au cours de ces transformations, le gaz reçoit un travail utile
a) En appliquant le raisonnement du A.II.3) à ces transformations, trouver une relation entre le travail utile et les températures initiale
b) On suppose de plus que, aussi bien pour le compresseur que pour la turbine, la transformation est réversible. En déduire que l'on a, pour ces deux transformations : ,
En déduire une relation liant
d) Considérant qu'il n'y a pas de travail utile échangé dans la vanne de détente, montrer que la transformation ne peut pas y être réversible. Quelle est la relation entre
A.III.3) Étude de l'échangeur de chaleur : on définit l'efficacité de l'échangeur par
a) Dire pourquoi on ne peut pas envisager que e soit négatif ou plus grand que 1.
b) Exprimer
A.III.4) Étude du mélange de
a) Calculer
b) On note
A.III.5) On considère l'avion au sol, avec 150 passagers et une température extérieure de
a) Calculer numériquement A .
b) Écrire la relation liant
c) Par un raisonnement qualitatif, montrer que le fonctionnement le plus économique est obtenu quand
d) En déduire que l'efficacité de l'échangeur doit être supérieure a un certain seuil pour que le fonctionnement soit possible. Déterminer ce seuil.
e) Application numérique: On prend
d) Considérant qu'il n'y a pas de travail utile échangé dans la vanne de détente, montrer que la transformation ne peut pas y être réversible. Quelle est la relation entre
A.III.3) Étude de l'échangeur de chaleur : on définit l'efficacité de l'échangeur par
a) Dire pourquoi on ne peut pas envisager que e soit négatif ou plus grand que 1.
b) Exprimer
A.III.4) Étude du mélange de
a) Calculer
b) On note
A.III.5) On considère l'avion au sol, avec 150 passagers et une température extérieure de
a) Calculer numériquement A .
b) Écrire la relation liant
c) Par un raisonnement qualitatif, montrer que le fonctionnement le plus économique est obtenu quand
d) En déduire que l'efficacité de l'échangeur doit être supérieure a un certain seuil pour que le fonctionnement soit possible. Déterminer ce seuil.
e) Application numérique: On prend
Calculer la puissance utile fournie au système S et comparer au résultat de la partie A.II). Conclusion.
B. Mécanique: étude d'un horizon artificiel
Conformément à l'usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras.
Un horizon artificiel permet de déterminer la position d'un avion par rapport à l'horizontale (sans référence extérieure, dans les nuages par exemple). Le principe de cet instrument utilise la stabilité d'un gyroscope. Un gyroscope est un solide de révolution en rotation à grande vitesse autour de son axe de symétrie. La direction de cet axe par rapport à un référentiel galiléen est très stable, ce qui est utilisé dans l'horizon artificiel pour savoir en permanence la direction de la verticale.
Un horizon artificiel permet de déterminer la position d'un avion par rapport à l'horizontale (sans référence extérieure, dans les nuages par exemple). Le principe de cet instrument utilise la stabilité d'un gyroscope. Un gyroscope est un solide de révolution en rotation à grande vitesse autour de son axe de symétrie. La direction de cet axe par rapport à un référentiel galiléen est très stable, ce qui est utilisé dans l'horizon artificiel pour savoir en permanence la direction de la verticale.
B.I. Verticale apparente dans un avion en virage
On commence par montrer que la «verticale» ressentie par un pilote dans un avion en virage, définie par la direction de son poids apparent, n'est pas dirigée selon la verticale terrestre.
On considère un avion dont le centre de masse C décrit un cercle de centre O et de rayon R dans le plan horizontal. Sa vitesse est constante en norme et égale à
On considère un avion dont le centre de masse C décrit un cercle de centre O et de rayon R dans le plan horizontal. Sa vitesse est constante en norme et égale à
Figure 5 : Avion en virage
La résultante
B.I.1) Faire le bilan des forces appliquées à l'avion dans le référentiel Ra.
B.I.2) Écrire le principe fondamental de la dynamique dans ce référentiel.
B.I.3) En projetant sur
B.I.4) Du fait des forces d'inertie qui apparaissent en virage, le pilote est soumis à une pesanteur apparente différente de celle qu'il ressent dans un référentiel terrestre. On étudie donc ici les forces appliquées dans le référentiel Ra à un pilote de masse m assis au centre de masse C de l'avion.
a) Calculer la force d'inertie subie par le pilote.
b) Montrer que le poids apparent du pilote est dirigé suivant Cz, Expliquer pourquoi le pilote ne perçoit pas les changements de direction de la verticale au cours du virage.
c) On considère
B.I.1) Faire le bilan des forces appliquées à l'avion dans le référentiel Ra.
B.I.2) Écrire le principe fondamental de la dynamique dans ce référentiel.
B.I.3) En projetant sur
B.I.4) Du fait des forces d'inertie qui apparaissent en virage, le pilote est soumis à une pesanteur apparente différente de celle qu'il ressent dans un référentiel terrestre. On étudie donc ici les forces appliquées dans le référentiel Ra à un pilote de masse m assis au centre de masse C de l'avion.
a) Calculer la force d'inertie subie par le pilote.
b) Montrer que le poids apparent du pilote est dirigé suivant Cz, Expliquer pourquoi le pilote ne perçoit pas les changements de direction de la verticale au cours du virage.
c) On considère
B.II. Approximation gyroscopique
On considère un solide de révolution de moment d'inertie I par rapport à son axe de révolution. On note
On introduit le référentiel du centre de masse du solide
Un moteur impose au solide une vitesse angulaire de rotation
Le moment cinétique en A du solide par rapport à
B.II.1) Quelle est l'unité de I ?
B.II.2) Équation d'évolution de
a) Écrire L en fonction de
b) En appliquant le théorème du moment cinétique dans
On introduit le référentiel du centre de masse du solide
Un moteur impose au solide une vitesse angulaire de rotation
Le moment cinétique en A du solide par rapport à
B.II.1) Quelle est l'unité de I ?
B.II.2) Équation d'évolution de
a) Écrire L en fonction de
b) En appliquant le théorème du moment cinétique dans
B.III Système érecteur
Du fait de sa stabilité, le gyroscope gardera assez longtemps une direction fixe dans l'espace. Toutefois, cette direction n'est pas la verticale. Il faudrait donc ramener
B.III1) Détermination du moment à appliquer
a) En vous aidant de la figure 6, déterminer la direction du moment
b) Vérifier que
B.III1) Détermination du moment à appliquer
a) En vous aidant de la figure 6, déterminer la direction du moment
b) Vérifier que
Figure 6:
B.III.2) Évolution de
a) On note
b) Vérifier que la solution est donnée par
a) On note
b) Vérifier que la solution est donnée par
B.IV. Comportement de l'horizon artificiel en virage
L'avion, muni de son horizon artificiel à système érecteur, effectue maintenant un virage à droite dans le plan horizontal avec une inclinaison
B.IV.1) Montrer que
B.IV.2) Montrer que
B.IV.3) Écrire l'équation d'évolution de
B.IV 4) On cherche une solution stationnaire de l'équation précédente, c'est-à-dire telle que
a) Projeter l'équation donnant la solution stationnaire sur
b) Exprimer
c) En déduire une équation pour
d) Montrer que, avec la valeur calculée précédemment de
e) Montrer que
B.IV.1) Montrer que
B.IV.2) Montrer que
B.IV.3) Écrire l'équation d'évolution de
B.IV 4) On cherche une solution stationnaire de l'équation précédente, c'est-à-dire telle que
a) Projeter l'équation donnant la solution stationnaire sur
b) Exprimer
c) En déduire une équation pour
d) Montrer que, avec la valeur calculée précédemment de
e) Montrer que
Figure 7:
Définition des angles
Définition des angles
approximation et en déduire l'angle entre
Application numérique. Un pilote est sensible à une déviation de l'ordre du degré sur l'horizon artificiel. Conclusion. Fin de l'énoncé
Application numérique. Un pilote est sensible à une déviation de l'ordre du degré sur l'horizon artificiel. Conclusion. Fin de l'énoncé