CCINP Mathématiques TSI 2016

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de trois problèmes totalement indépendants.

La rédaction comptera pour une part importante de la note.

On considère dans ce problème la suite définie par un premier terme dans et par la relation de récurrence :

On introduit la fonction .
I.1. a) Vérifier que, pour tout .
b) En déduire que est bien définie sur .

Justifier alors que, pour tout est bien définie.
c) Déduire de la question 1.a) que, pour tout .
d) En déduire que pour tout .
I.2. a) Justifier que est dérivable sur et, pour tout , calculer .

On détaillera les calculs effectués.
Déterminer le tableau des variations de sur .
b) Montrer que, pour .
c) Représenter alors la courbe représentative de sur .

On se placera dans un repère orthonormé ( ) et on utilisera l'échelle suivante : 10 cm pour 1 unité.

On fera apparaître la tangente horizontale et la première bissectrice.
Dans cette question uniquement, on suppose ; construire à l'aide du graphe précédent les premiers termes de la suite .
d) Montrer que, pour tout .
I.3. a) Calculer .
b) En déduire que .
c) En déduire alors, pour tout , une majoration de en fonction de et de .
d) En déduire que converge et déterminer sa limite.

II.1. Justifier que converge et calculer sa valeur.
II.2. Soit . On suppose que converge.
a) Soit . Montrer que

b) Déterminer (et justifier) la limite de quand tend vers .
c) En déduire que converge et que .
II.3. Montrer alors que, pour tout converge et vaut .

On rappelle que désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3 .
Pour tous et dans , on pose :

II.4. Justifier rapidement en utilisant II. 3 que, pour tous et dans , l'intégrale converge.
II.5. Montrer que l'application est un produit scalaire sur .

Soit l'application définie sur par :

On rappelle que la base canonique de est la famille .
II.6. Montrer que est un endomorphisme de .
II.7. Vérifier que la matrice de dans la base canonique de est .
II.8. Montrer alors que les valeurs propres de sont et -3 .

L'endomorphisme est-il diagonalisable?
II.9. Pour tout , déterminer un vecteur propre de associé à la valeur propre et dont le coefficient dominant vaut 1 .
On présentera et on expliquera les calculs effectués.
On supposera dans la suite que désigne un vecteur propre de associé à la valeur propre -3 et de coefficient dominant égal à 1 .
II.10. Soient et dans .
a) On pose .

Justifier que est de classe sur .
Pour tout , exprimer en fonction de et de .
b) Montrer que

c) En effectuant une intégration par parties dans l'intégrale avec , montrer que

d) En déduire que .
II.11. On rappelle que, pour tout est un vecteur propre de associé à la valeur propre .

Soient et dans tels que .
En remarquant que , montrer que puis que et sont orthogonaux.
II.12. En déduire que la famille ( ) est une base de constituée de vecteurs deux à deux orthogonaux.

On rappelle que, pour une variable aléatoire, désigne l'espérance de et désigne la variance de .
Étant donnés deux événements et , la notation désigne la probabilité conditionnelle de sachant .

On considère un groupe de deux ampoules que l'on observe aux instants Ces deux ampoules sont supposées indépendantes l'une de l'autre.
À l'instant initial, on suppose que les deux ampoules sont allumées. Ces ampoules restent allumées jusqu'au moment où elles grillent. Elles peuvent donc être soit dans l'état allumé, soit dans l'état grillé. La possibilité qu'une ampoule soit éteinte n'est pas considérée ici.
À chaque instant, chaque ampoule déjà grillée reste grillée et chaque ampoule allumée a la probabilité de rester allumée et de griller.
On note, pour tout entier naturel, la variable aléatoire égale au nombre d'ampoules allumées à l'instant . On remarquera que peut prendre les valeurs 0,1 et 2 , c'est à dire que .
Pour tout , on introduit le vecteur colonne dans :

III.1. Déterminer la loi de et vérifier que .

Déterminer la variance de .
III.2. Justifier que, pour tout entier naturel , on a :

III.3. Déterminer pour tout entier naturel et sans justification les probabilités conditionnelles :

III.4. Soit . À l'aide de la formule des probabilités totales, exprimer en fonction de et .
Montrer alors que où .

On se propose de déterminer l'espérance et la variance de tous les sans chercher leur loi. On introduit les matrices de

III.5. Calcul de l'espérance
a) Pour tout , vérifier que .
b) Calculer et exprimer le résultat uniquement en fonction de .

En déduire que, pour tout .
c) Exprimer alors en fonction de .
III.6. Calcul du moment d'ordre 2.

On rappelle la formule de transfert : pour une variable aléatoire finie et une fonction de dans

a) En appliquant cette formule de transfert, exprimer, pour tout en fonction de et .
b) Calculer et montrer qu'il existe deux réels et que l'on déterminera, tels que:

c) En déduire que, pour tout . On pourra utiliser les résultats de la question III.5.
d) On introduit la suite définie par . Vérifier que la suite satisfait la relation de récurence

e) Soit la suite définie par .

Montrer que est une suite géométrique et déterminer sa raison.
f) En déduire, pour tout , l'expression de en fonction de .
III.7. Déterminer alors, pour tout , l'expression de en fonction de .