CCINP Mathématiques TSI 2015

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants. Ils peuvent être traités dans un ordre quelconque.

On s'intéresse dans ce problème à la série numérique . On cherche ensuite à obtenir, par deux méthodes, des approximations de à l'aide de séries numériques.

I.A.1. Soient un réel et un entier naturel. Rappeler, sans preuve, une expression simplifiée de la somme pour . Que vaut cette somme si ?
I.A.2. Soit un réel. Donner, sans justification, une condition nécessaire et suffisante sur le réel pour que la série de Riemann soit convergente.
I.A.3. On rappelle que la notation Arctan désigne la fonction Arctangente.

Donner, sans justification, l'ensemble de définition de la fonction Arctan, son ensemble de dérivabilité, sa dérivée et son tableau de variation, qui fera apparaître les limites.

I.B.1. La série est-elle absolument convergente ? On justifiera la réponse.
I.B.2. Pour tout entier naturel , calculer le réel défini par .

Calculer aussi l'intégrale .
I.B.3. Soit un entier naturel. On pose .

Justifier que , puis en utilisant la question I.A.1., en déduire que

I.B.4. Démontrer que pour tout entier naturel ,

I.B.5 A l'aide des trois questions précédentes, montrer la convergence et calculer la somme de la série

I.C.1. Démontrer, à l'aide de la partie , que pour tout entier naturel ,

I.C.2. Déterminer, par un calcul ou à l'aide de votre calculatrice, le plus petit entier naturel tel que

I.C.3. Expliquer comment obtenir une valeur approchée de à près à l'aide des questions précédentes. On ne demande pas dans cette question de déterminer une telle approximation.

I.D.1. Déterminer le développement en série entière de la fonction et en préciser le rayon de convergence. En déduire que, pour tout ,

On indiquera le théorème utilisé ainsi que ses hypothèses.
I.D.2. Calculer la valeur exacte de . Exprimer, en utilisant la question I.D.1., le réel comme somme d'une série numérique. En déduire que

I.D.3. Pour tout entier naturel , on note et on admet que pour tout entier naturel

Déterminer, en expliquant votre démarche, le plus petit entier naturel tel que

Que constatez-vous? On comparera l'efficacité des deux méthodes d'approximation de proposées dans ce problème.
I.D.4. Donner une valeur approchée de en faisant figurer sept décimales après la virgule.

Le but de ce problème est d'introduire, dans le cadre des matrices à coefficients complexes, la notion de matrices à diagonale strictement dominante, pour en déduire un théorème de localisation des valeurs propres, appelé théorème de Gerschgorin.

Si est un nombre complexe, avec , le module de est le nombre réel positif

Lorsque est un nombre réel, alors désigne sa valeur absolue (qui coïncide alors avec son module).
On désigne par le plan complexe muni du repère orthonormé ( ).
A chaque complexe , on associe le point de de coordonnées ( ). On dit que est le point d'affixe et on le notera .

On note l'ensemble des matrices carrées à 3 lignes et 3 colonnes à coefficients complexes et la matrice identité

On dit que la matrice

de est à diagonale strictement dominante si les trois inégalités suivantes sont vérifiées :

Par exemple, la matrice

est à diagonale strictement dominante car et et .

On se propose, dans cette partie, de démontrer le résultat suivant :
Théorème d'Hadamard : "Si une matrice est à diagonale strictement dominante, alors est inversible."
II.A.1. On considère dans cette question les trois matrices :

II.A.1.a) Déterminer si les matrices et sont à diagonale strictement dominante.
II.A.1.b) Montrer que les matrices et sont inversibles.
II.A.1.c) La réciproque du théorème d'Hadamard est-elle vraie ?
II.A.2. Soit une matrice non inversible de .
II.A.2.a) Justifier qu'il existe un vecteur colonne de non nul tel que .
II.A.2.b) En déduire qu'on a les relations :

II.A.2.c) Soit tel que . Justifier que le nombre complexe est non nul.
II.A.2.d) On suppose par exemple que , c'est-à-dire que . Montrer alors que puis que . Ecrire sans justification une inégalité analogue dans le cas où on aurait ou .
II.A.2.e) Conclure.

Soit un nombre complexe et soit . On rappelle que l'ensemble

est le disque fermé ayant pour centre le point d'affixe et de rayon . Par la suite, on notera ce disque .

A la matrice de , on associe les trois disques , et avec

Les disques et sont appelés les disques de Gerschgorin.

On considère les matrices :

II.B.1. Dans cette question, on s'intéresse à la matrice .
II.B.1.a) Représenter dans le plan complexe les trois disques et de Gerschgorin de la matrice .
II.B.1.b) Déterminer, sans justification, l'ensemble .
II.B.1.c) Déterminer les valeurs propres complexes et de et représenter les points d'affixes et sur le schéma de la question II.B.1.a)
II.B.1.d) Montrer que les points d'affixes , et appartiennent à l'union .
II.B.2. Dans cette question, on s'intéresse à la matrice .
II.B.2.a) On note le polynôme caractéristique de la matrice . Montrer que

On détaillera les calculs.
II.B.2.b) Déterminer les valeurs propres complexes et de .
II.B.2.c) Représenter dans le plan complexe les trois disques de Gerschgorin et associés à la matrice ainsi que les points d'affixes et .
II.B.2.d) Montrer que les points d'affixes , et appartiennent à l'union .
II.B.3. On se propose dans cette question de démontrer le résultat suivant, appelé théorème de Gerschgorin :
"Soit une matrice . Pour toute valeur propre complexe de , le point d'affixe appartient à l'union des trois disques de Gerschgorin associés à ."

Soit une matrice de . On note et les trois disques de Gerschgorin associés à .
II.B.3.a) Soit un complexe. Donner la définition de " est une valeur propre de " sans utiliser la notion de déterminant.
II.B.3.b) Expliciter les coefficients de la matrice .
II.B.3.c) Montrer à l'aide du théorème d'Hadamard que, si est une valeur propre de , on a l'une des inégalités :

II.B.3.d) Prouver alors le théorème de Gerschgorin.