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CCINP Mathématiques PSI 2025

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementPolynômes et fractionsRéductionSuites et séries de fonctions
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CCINP
Année
2025
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2025PSI MathsMaths 2025
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PSI1M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

EXERCICE

Probabilités

On considère un espace probabilisé . Soit et une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre .
On note la fonction génératrice de .
L'objectif de cet exercice est d'affiner une majoration donnée par l'inégalité de BienayméTchebychev appliquée à une loi de Poisson.
Q1. Sans démonstration, donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
Q2. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une majoration de .
Q3. Justifier que l'événement est inclus dans l'événement .
Q4. En déduire la majoration suivante :
Q5. Donner l'ensemble de définition de .
Q6. Montrer que pour tout .
Q7. On suppose que . Montrer que pour tout , on a :
Q8. En déduire que :
Q9. On admet que . Quelle majoration (1) ou (2) de est la plus précise?

PROBLÈME 1

Séries de Fourier

Dans ce problème, on introduit les notions de coefficients de Fourier réels et de série de Fourier d'une fonction réelle continue par morceaux et -périodique. On étudie l'exemple d'une fonction pour laquelle on calcule les coefficients de Fourier réels (partie I) et on montre que la fonction coïncide en tout point avec la somme de sa série de Fourier (partie II).

Partie I - Calcul des coefficients de Fourier d'une fonction

Soit une fonction continue par morceaux sur et -périodique. Pour tout , on pose :
Les réels et sont appelés coefficients de Fourier réels de la fonction .
Q10. Montrer que si est paire, alors et que si est impaire, alors .
Q11. Soit une fonction telle que pour tout :
Montrer qu'il existe une manière unique de définir sur telle que soit continue par morceaux, impaire et -périodique sur .
Déterminer en particulier et tracer l'allure de la courbe représentative de sur dans un repère orthogonal.
Q12. Montrer que et que pour tout et .

Partie II - Convergence d'une série de Fourier

On appelle série de Fourier d'une fonction continue par morceaux, -périodique, la série de fonctions définie à l'aide des coefficients de Fourier réels de par :
  • est la fonction constante ;
  • pour tout .
On admet que la série de Fourier de la fonction définie à la question converge simplement sur et on note sa somme.
D'après la question Q12 :
L'objectif de cette partie est de montrer que pour tout .
Q13. Déterminer l'ensemble des tels que .
Q14. Soient tel que et . Montrer qu'il existe tel que pour tout :
Q15. En déduire que pour tout , on a :
Q16. Soit . Montrer que pour tout et , on a :
Q17. En déduire que pour tout , la série converge et que l'on a :
Pour tout , on pose .
Q18. Justifier l'existence de et montrer que :
Q19. En déduire que, pour tout , on a :
Q20. Conclure.

PROBLÈME 2

Inégalité et matrices de Hadamard

L'objectif de ce problème est d'établir l'inégalité de Hadamard reliant le déterminant d'une matrice et le produit des normes euclidiennes de ses vecteurs colonnes. Nous étudierons ensuite quelques propriétés de la famille des matrices de Hadamard qui réalisent l'égalité dans cette inégalité.
Dans tout le problème, désigne un entier supérieur ou égal à 1 . On désigne par l'espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients réels et l'espace vectoriel des matrices colonnes à lignes et à coefficients réels.
Pour tout , on note le produit scalaire canonique de et .
Étant donné nombres réels , la matrice diagonale, dont les coefficients diagonaux sont formés par les réels , est désignée par diag .
On note l'ensemble des matrices symétriques positives à coefficients réels et l'ensemble des matrices symétriques définies positives à coefficients réels.

Partie I - Inégalité arithmético-géométrique

Soit . On pose et . Dans cette partie, nous allons montrer que , avec égalité si et seulement si .
On remarque que dans le cas où sont tous nuls, l'égalité est immédiate. On suppose donc dans la partie I que les sont non tous nuls.
Q21. Montrer que pour tout , avec égalité si et seulement si .
Q22. Montrer que pour tout :
Q23. En déduire que .
Q24. Montrer que si et seulement si .

Partie II - Inégalité de Hadamard

L'objectif de cette partie est de démontrer que pour toute matrice :
Cette inégalité est appelée inégalité de Hadamard.
Dans les questions Q25 à Q30, on considère .
Q25. Justifier que est diagonalisable dans et rappeler la relation qui lie et les valeurs propres de , puis et les valeurs propres de .
Q26. En déduire que :
Q27. Montrer que si et seulement s'il existe , tel que .
Q28. Montrer que pour tout .
On considère la matrice diagonale .
Q29. Montrer que la matrice a pour coefficient général avec . En déduire que est symétrique définie positive et que ses éléments diagonaux valent 1.
Q30. En utilisant la question Q29, montrer que :
avec égalité si et seulement si est diagonale.
Q31. Soit une matrice inversible. Montrer que .
Q32. Soit une matrice qu'on ne suppose pas inversible. On note les colonnes de . Déduire des questions précédentes que l'inégalité (3) est valide pour , avec égalité si et seulement si les vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire .
Q33. Soit telle que, pour tout . Montrer alors que :
avec égalité si et seulement pour tout et .

Partie III - Matrices de Hadamard

Dans cette partie, nous étudions l'ensemble des matrices de Hadamard de taille défini par:
Par exemple, la matrice est un élément de .
Notons . L'ensemble n'est pas connu actuellement. L'un des objectifs de cette partie est de donner une condition nécessaire sur pour que .
On admet que si un ensemble est non vide, alors il contient au moins une matrice de Hadamard dont la première colonne et la première ligne sont constituées uniquement de 1.
Soit et soit .
Q34. Montrer que est inversible et déterminer . A-t-on ?
Q35. Montrer que la matrice définie par blocs appartient à . En déduire que pour tout .
On suppose désormais que et que la première colonne et la première ligne de ne sont constituées que de 1.
On note les colonnes de la matrice . On a en particulier .
Q36. En considérant , montrer que est pair.
Q37. On note :
Exprimer et en fonction de et de .
En déduire un système linéaire de 4 équations d'inconnues .
Q38. En déduire que est un multiple de 4 .
Nous venons de démontrer que :
  • si est une puissance de 2 , alors appartient à ;
  • si et n'est pas un multiple de 4 , alors n'appartient pas à .
Hadamard a conjecturé que si et seulement si est un multiple de 4 .
La question est encore ouverte aujourd'hui.

FIN

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