CCINP Mathématiques PSI 2024

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux problèmes et d'un exercice indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( ).
On s'intéresse à une file d'attente à un guichet. À l'instant 0 , la file contient un client. On suppose qu'à chaque instant il peut arriver au plus un nouveau client dans la file.

Pour tout , on note la variable aléatoire qui vaut 1 si un nouveau client arrive à l'instant et 0 sinon.

On suppose que est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre .

On repère chaque client par un indice qui donne son ordre d'arrivée dans la file : par définition, le client initialement présent a pour indice , le premier nouvellement arrivé a pour indice , etc.

On rappelle que la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans est la fonction notée définie par :

Q1. On note la variable aléatoire égale au temps écoulé entre le temps 0 et le temps où arrive le client d'indice 1.
Justifier que pour tout .
Q2. On note l'événement «aucun nouveau client n'arrive dans la file».
Exprimer en fonction des événements . En déduire . Interpréter.
Q3. Déterminer le rayon de convergence de la fonction génératrice de , puis calculer sa somme.
Q4. En déduire l'espérance et la variance de .
Q5. Pour tout , on note la variable aléatoire égale au temps écoulé entre l'arrivée du client d'indice et le client d'indice . On admet que les variables aléatoires sont indépendantes et de même loi.
On note la variable aléatoire qui donne le temps d'arrivée du client d'indice .
Calculer l'espérance, la variance et la fonction génératrice de .
Q6. Rappeler le développement en série entière de au voisinage de pour .
En déduire le développement en série entière de en 0 et montrer que pour tout :

Soient et .
On s'intéresse au comportement de la suite définie par :

Q7. Montrer que pour tout et est du même signe que .
Q8. En déduire que converge vers une limite vérifiant .
Q9. Soit la fonction .
Montrer que pour tout , on a : et .
Q10. On suppose dans cette question que .
Étudier le signe de et montrer qu'elle ne s'annule qu'en . En déduire que .
Q11. On suppose dans cette question que .
Étudier le signe de et montrer que l'équation d'inconnue admet exactement deux solutions et 1 avec qu'on ne cherchera pas à expliciter.
En distinguant les cas et , montrer que .

On suppose que les clients de la file d'attente sont servis suivant leur ordre d'arrivée par un unique serveur et que la durée de service de chaque client est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre : pour tout , le service a une durée avec la probabilité .

On rappelle qu'initialement, la file contient un unique client : le client d'indice 0 .
On note la variable aléatoire égale à la durée de service de ce client : comme à chaque instant il arrive au plus un nouveau client, il peut arriver entre 0 et nouveaux clients pendant le temps de passage au guichet du client d'indice 0 . Les variables et sont supposées indépendantes.

On appelle «clients du premier groupe» les clients qui sont arrivés pendant que le client d'indice 0 était servi.
Par récurrence, pour tout , on définit les clients du -ième groupe comme étant les clients qui sont arrivés pendant que ceux du ( )-ième groupe étaient servis.

Pour tout , on note la variable aléatoire égale au nombre de clients du -ième groupe.

Par construction, pour , si le -ième groupe est vide, alors l'événement est réalisé pour tout .

Q12. Quelle est la situation concrète décrite par l'événement ?
Q13. Quelle est la loi du nombre de clients qui sont arrivés dans la file d'attente dans l'intervalle de temps ?
Q14. Pour tout , calculer .
En déduire que suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
Q15. On note . Montrer que converge et que .
Q16. Justifier que pour tout . On distinguera le cas .
Q17. Montrer que pour tout .
Q18. Déterminer, suivant les valeurs de , la limite de la suite . Interpréter.

Q19. Soit . Montrer que converge si, et seulement si, .

Pour tout , on note :

Q20. Montrer que pour tout . En déduire que pour tout :

Q21. On admet que l'intégrale converge et qu'elle vaut .
Montrer que pour tout .
Q22. Pour tout on note . Montrer que pour tout :

On remarquera que pour , par convention, la somme des est nulle.

Q23. Montrer que pour tout :

Q24. En déduire que converge.
Q25. Montrer qu'il existe tel que, lorsque :

En déduire que lorsque :

Q26. Pour tout et tout , on admet que est intégrable sur et on note :

Montrer que pour tout et tout :

Q27. Montrer que pour tout :

Q28. On définit la fonction sur en posant
En remarquant que , utiliser le théorème de convergence dominée pour montrer que pour tout :

En déduire que pour tout :

Q29. Montrer que pour tout .
En déduire que où est défini à la question Q25.
On pourra faire appel aux résultats des questions Q19 et Q20.

Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels. Pour tout , on définit la matrice par :

Les matrices , dites «matrices de Jordan», sont particulièrement importantes dans la mesure où on peut montrer que si le polynôme caractéristique d'une matrice est scindé, alors elle est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont formés de matrices de Jordan.

On se propose de montrer dans un premier temps une propriété d'irréductibilité des blocs de Jordan. Dans un second temps, on étudie le caractère borné des solutions du système différentiel linéaire associé à une matrice de Jordan.

Une matrice est dite nilpotente s'il existe , tel que . Dans ce cas, le plus petit entier naturel , tel que est appelé indice de nilpotence de .

On note la base canonique de .
On dit qu'un sous-espace vectoriel de est stable par un endomorphisme de si pour tout .

On note et pour tout et tout , on définit :

On admet que et définissent des normes respectivement sur et .

Soit . On note l'endomorphisme canoniquement associé à .
Q30. Calculer pour tout et en déduire .
Calculer de même et . En déduire que est nilpotente d'indice .

Q31. Montrer que et déterminer le sous-espace propre associé.
Q32. Soit un sous-espace vectoriel de . Montrer que est stable par si, et seulement si, est stable par .
Soit un sous-espace vectoriel de stable par , de dimension . On note l'endomorphisme induit par sur et ( ) une base de , que l'on complète en une base de .
Q33. Quelle est la forme de la matrice de dans la base ?
Q34. En déduire que le polynôme caractéristique de divise le polynôme caractéristique de et que .
Q35. Déduire de la question précédente qu'il n'existe pas de décomposition où et sont des sous-espaces vectoriels de stables par non réduits à .

On s'intéresse dans cette partie aux solutions du système différentiel :

Une solution de ( ) est une fonction:

de classe telle que pour tout .
Pour tout , on définit la matrice carrée de taille notée par :

Q36. Montrer que si est un vecteur propre pour associé à la valeur propre , alors est une solution particulière de .
Q37. On définit la fonction .
Montrer que est dérivable et que pour tout .
Q38. Justifier que pour tout .
Montrer que pour tout est inversible, d'inverse .
Q39. Montrer que est solution de ( ) si, et seulement si, est constante.
En déduire que les solutions de ( ) sont exactement les fonctions où .

Q40. Montrer que si , ( ) admet une solution non bornée sur .
Q41. Montrer que pour tout et tout , on a .
En déduire que si , toutes les solutions de ( ) sont bornées sur .
Q42. Que dire concernant l'existence de solutions de ( ) non bornées sur si ?

FIN