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CCINP Mathématiques PSI 2023

Fonction de Bessel, marche aléatoire surZ, puissances de matrices et limites de suites de matrices

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Intégrales à paramètresAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionSéries entières (et Fourier)
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CCINP
Année
2023
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2023PSI MathsMaths 2023
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

EXERCICE

Fonction de Bessel

Soit une fonction définie par :
Pour tout , on note :
Q1. Montrer que est bien définie sur .
Q2. Montrer que est de classe sur et donner des expressions sous forme d'intégrales de et pour tout .
Q3. Soit une fonction définie par :
Justifier l'existence de , puis déterminer pour tout .
Q4. En déduire que est solution de l'équation différentielle :
Q5. On suppose qu'il existe une solution de ( ) développable en série entière notée de rayon de convergence .
Montrer que et que pour tout :
Q6. En utilisant un théorème d'interversion série intégrale, montrer que est développable en série entière au voisinage de 0 et exprimer les coefficients du développement de en fonction des termes de la suite .
Q7. Déduire des questions précédentes que est l'unique solution développable en série entière de ( ) vérifiant .
Q8. En déduire, pour tout , une expression de en fonction de .

PROBLÈME 1

Marche aléatoire sur

On considère une particule se déplaçant sur une droite graduée par les entiers relatifs. Sa position à l'instant initial est . À chaque instant , elle se déplace aléatoirement de sa position à la position ou .
Soit . On définit sur un espace probabilisé ( ) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées dont la loi est définie par :
Enfin, pour tout , on pose .
Pour tout , la variable aléatoire modélise le déplacement de la particule à l'instant . Si , la particule se déplace vers la droite. Si , la particule se déplace vers la gauche. Ainsi, pour tout modélise la position de la particule après déplacements.
On rappelle la formule de Stirling :

Partie I - Un développement en série entière

Q9. Soit tel que . Donner sans démonstration un développement en série entière de la fonction réelle au voisinage de 0 en précisant son rayon de convergence.
Q10. En déduire que pour tout :

Partie II - Probabilité de retour à l'origine

On définit la suite par :
Q11. Pour tout , déterminer la loi de la variable aléatoire . En déduire que pour tout , la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Q12. En déduire que pour tout :
Q13. Déterminer la limite de la suite lorsque tend vers selon les valeurs de et interpréter le résultat.

Partie III - Nombre de passages par l'origine

Pour tout , on note la variable aléatoire égale à 1 si la particule est à l'origine à l'instant sinon. Pour tout , on pose . On note l'espérance de la variable aléatoire .
Dans cette partie, on souhaite déterminer .
Q14. Soit . Que modélise la variable aléatoire ?
Q15. Soit . Déterminer la loi de la variable aléatoire . En déduire que :
Q16. On suppose dans cette question que . En utilisant le résultat de la , calculer et interpréter le résultat.
Q17. On suppose dans cette question que . Montrer par récurrence que :
et en déduire .

PROBLÈME 2

Puissances de matrices et limites de suites de matrices

Soit . On s'intéresse ici à la convergence de suites matricielles où pour tout avec (matrices colonnes) ou (matrices carrées). Pour tout , on note alors ou plus simplement .
On suppose que l'espace vectoriel est muni d'une norme notée . é des valeurs de et . En particulier, si est une matrice colonne assimilée à un vecteur de et on note sa norme.
On rappelle que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
  1. la suite converge vers la matrice ;
  2. la suite des normes converge vers 0 ;
  3. pour tout , la suite de nombres complexes converge vers (convergence des coefficients de la matrice).
    On s'intéresse en particulier à la suite des puissances itérées d'une matrice donnée .

Partie I - Diagonalisation et puissances d'une matrice particulière

Soit tel que . Pour tout , on définit la matrice par :
et on note le polynôme caractéristique de la matrice .
On note la matrice identité de et on remarque que pour tous réels et ,
Q18. On suppose, dans cette question uniquement, que . Montrer que dans ce cas est diagonalisable.
Q19. Montrer que est un vecteur propre de et déterminer la valeur propre associée à .
Q20. Montrer que .
Q21. On suppose que . Montrer que . En déduire l'ensemble des valeurs propres de ainsi que leurs multiplicités.
Q22. On définit le polynôme par . Montrer que est un polynôme annulateur de et en déduire que est diagonalisable (on distinguera les cas et ).
Q23. Soit . On suppose que . Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme par le polynôme et en déduire une expression de comme combinaison linéaire de et de .
Q24. Supposons que et . Déterminer la limite de la suite de matrices .

Partie II - Limite des puissances d'une matrice

Soit . On considère l'espace vectoriel muni d'une norme notée . canonique . Soit un endomorphisme de vérifiant la propriété suivante :
où est l'ensemble des valeurs propres de . On note la matrice de l'endomorphisme dans la base .
L'objectif de cette partie est de montrer que .
On suppose (sauf à la Q29) que où est une matrice triangulaire supérieure :
Q25. Montrer que et en déduire .
On suppose qu'il existe tel que pour tout .
Q26. Montrer qu'il existe tel que :
En déduire que pour tout :
Q27. Montrer que . En déduire que .
Q28. Montrer alors que .
Q29. On ne suppose plus que est triangulaire supérieure. Montrer que .

Partie III - Application à la méthode de Gauss-Seidel

Soit telle que:
On dit alors que est une matrice à diagonale strictement dominante. On admet que dans ce cas est inversible.
On définit ensuite et de la manière suivante : pour tout ,
  • si et ;
  • si et .
Ainsi, où est la partie triangulaire supérieure de diagonale nulle de et où est la partie triangulaire inférieure de .
Soit . On note l'unique matrice colonne telle que :
Le but de cette partie est de trouver une suite qui converge vers .
Q30. Justifier que est inversible.
Dans la suite de cette partie, on pose . On définit par récurrence une suite de matrices colonnes avec quelconque et:
Q31. Montrer que .
Soit une valeur propre quelconque de la matrice . On note un vecteur propre de associé à cette valeur propre.
Par convention, si est une suite de nombres complexes alors .
Q32. Montrer que . En déduire que :
Q33. Montrer qu'il existe tel que et . En déduire que :
Q34. En déduire que , puis que .
Q35. Montrer que :

et conclure.

FIN

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