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CCINP Mathématiques PSI 2022

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
CCINP
Année
2022
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2022PSI MathsMaths 2022
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

PROBLÈME 1

Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace

Présentation

Le théorème de Moivre-Laplace permet d'approcher les calculs de probabilité pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres et par des calculs d'intégrales de fonctions gaussiennes. Une première démonstration a été donnée en 1733 par Abraham de Moivre pour le cas où .
La partie I permet d'obtenir un résultat de convergence. La partie II aboutit à un calcul exact d'une intégrale de fonction gaussienne dite " intégrale de Gauss ". La partie III permet d'établir une majoration utile à la partie IV qui s'intéresse à la convergence simple d'une suite de fonctions vers une fonction gaussienne. Ce résultat de convergence constitue une étape clé dans une démonstration possible du théorème de Moivre-Laplace.

Partie I - Convergence d'une suite

Soit . Pour tout , on pose :
Pour tout , on pose :
Q1. Montrer que la suite est décroissante.
Q2. Montrer que pour tout :
Q3. En déduire que pour tout :
Q4. Montrer que pour tout :
En déduire que :
Q5. En déduire la convergence de la suite lorsque tend vers l'infini, puis que :

Partie II - Calcul d'une intégrale de Gauss

Pour tout , on pose :
Pour tout et pour tout , on pose :
Enfin, on considère l'intégrale de Gauss :
Q6. À l'aide d'un changement de variable simple, déduire de la que la suite converge et donner sa limite.
Q7. Montrer que la suite de fonctions converge simplement sur et donner sa limite.
Q8. Montrer que pour tout , on a et en déduire que pour tout :
Q9. Montrer que l'intégrale est convergente, puis déduire des questions précédentes une valeur exacte de .

Partie III - Calcul d'une majoration

Q10. Montrer qu'il existe une fonction et un réel , tels que :
Indication : pour obtenir la majoration, on pourra écrire sous forme d'intégrale.
Q11. Soit . Montrer que pour tout :
Q12. En déduire que pour tout tel que , il existe tel que et :

Partie IV - Vers le théorème de Moivre-Laplace

On considère une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé . On suppose que pour tout , la variable aléatoire suit une loi binomiale et on pose :
Pour tout , on pose et . On admet que les intervalles , pour , sont disjoints deux à deux et que :
Pour tout , on définit une fonction en escalier de la manière suivante :
Q13. Soit . Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
Q14. Proposer une représentation graphique de la fonction .
Q15. Soit . Vérifier que la fonction possède un maximum sur et déterminer pour quelles valeurs ce maximum est atteint.
Q16. Soit . Montrer qu'il existe , tel que pour tout , vérifiant , il existe , tel que . Vérifier qu'alors :
Q17. Soit . Vérifier que pour tout . Montrer ensuite, en utilisant les résultats des , que la suite de fonctions converge simplement sur et préciser sa limite.
La convergence simple de cette suite de fonctions est une étape importante permettant de démontrer un cas particulier du théorème de Moivre-Laplace :

Théorème

Pour tous réels , tels que :

PROBLÈME 2

Factorisation

Présentation

Ce problème s'intéresse dans la partie I à des propriétés des matrices de rang 1. Certaines de ces matrices sont ensuite utilisées dans la partie II pour construire des matrices orthogonales permettant dans la partie III de prouver l'existence d'une factorisation pour une matrice carrée quelconque.

Notations

Pour tous , on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans . L'ensemble des matrices réelles carrées de taille est noté . Soit : on note également l'endomorphisme de qui à associe . Pour tout désigne la matrice transposée de . Une matrice est dite nilpotente s'il existe un entier , tel que . L'ensemble est muni de son produit scalaire canonique et de la norme associée . En identifiant et , on a pour tous :
On suppose dans tout ce problème que est un entier naturel vérifiant .

Partie I-Matrices de rang 1

1.1 - Une expression des matrices de rang 1

Q18. Soit une matrice de rang 1 . Montrer qu'il existe tels que .
Q19. Réciproquement, soient . Montrer que la matrice est de rang 1 .

1.2 - Quelques propriétés

Soit une matrice de rang 1 .
Q20. Montrer que .
Q21. En déduire, par récurrence sur , une expression de en fonction de pour tout .
Q22. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de pour que soit nilpotente.
Q23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de pour que soit diagonalisable.

Partie II - Matrices de Householder

II. 1 - Un exemple

On définit :
Q24. Calculer . En déduire un polynôme annulateur de .
Q25. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .
Q26. Montrer que les sous-espaces propres de sont orthogonaux.
Q27. Déterminer une matrice et une matrice diagonale , telles que .
Q28. Interpréter géométriquement l'endomorphisme de .

II. 2 - Matrices de Householder

Soit . On définit par :
Q29. Montrer que et que .
Q30. Montrer que est la projection orthogonale sur la droite .
Préciser le rang et la trace de la matrice .
Q31. Montrer que est symétrique et orthogonale.
Q32. Montrer que est la symétrie orthogonale par rapport à .

Partie III - Factorisation

III. 1 - Un résulat préliminaire

Soient , tels que . On note .
Q33. Montrer que est l'ensemble des , tels que .
Q34. Donner la décomposition de sur la somme directe .
Q35. On suppose et non colinéaires. Calculer où est définie en (1).
Q36. En déduire que pour tous , il existe une matrice orthogonale , telle que est colinéaire à .

III. 2 - Factorisation

Q37. Soit . Montrer qu'il existe une matrice orthogonale , telle que soit de la forme :
ù
Q38. En raisonnant par récurrence sur , montrer que pour tout , il existe une matrice orthogonale, telle que soit triangulaire supérieure.

FIN

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