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CCINP Mathématiques PSI 2020

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généralisées
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CCINP
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2020
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2020PSI MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai : -

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

PROBLÈME 1
Autour de la fonction sinus cardinal

Objectifs

Dans ce problème, on détermine dans la Partie I la valeur de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal. On utilise ensuite dans la Partie II une variante de la formule de Viète pour exprimer la transformée de Laplace de la Partie I comme limite d'une suite d'intégrales.

Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal

Pour , on note :
Q1. Montrer que : .
Q2. Montrer que les fonctions et sont bien définies sur .
Q3. Montrer que .
Q4. Montrer que est de classe sur et exprimer à l'aide de la fonction .
Q5. Trouver une expression simple pour et pour . On pourra calculer . En déduire, pour , la valeur de .
Q6. En déduire une expression simple pour . Que vaut ?

Partie II - Autour de la formule de Viète

Q7. Montrer que pour tout et pour tout :
Q8. Montrer que pour tout et pour tout :
On pourra raisonner par récurrence et utiliser l'identité :
Q9. En déduire que pour tout :
Q10. Montrer que pour tout :
On pourra introduire, pour tout , la fonction définie par :
Q11. En déduire que :
L'objet des trois questions suivantes est de redémontrer le résultat précédent de façon plus élémentaire.
Q12. Déterminer :
en écrivant cette quantité à l'aide une somme de Riemann.
Q13. Soit . Montrer que pour tout :
Q14. En déduire que :
et retrouver le résultat de la question .

PROBLÈME 2
Les matrices de Kac

Notations

  • Pour désigne l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels et désigne l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients complexes.
  • Dans tout ce problème, les vecteurs de seront notés en colonnes.
  • La lettre désigne le nombre complexe usuel vérifiant . On s'interdira d'utiliser cette lettre pour tout autre usage!

Objectifs

Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés spectrales de deux matrices et introduites par Mark Kac au milieu du XX siècle. Ces liens ont été mis en évidence par Alan Edelman et Eric Kostlan au début des années 2000.
Ce problème est divisé en quatre parties largement indépendantes. La Partie I introduit les matrices de Kac en taille 3 et met en évidence les propriétés qui seront démontrées en taille quelconque dans les Parties II et III. La Partie IV est une utilisation probabiliste d'une des deux matrices de Kac.

Partie I - La dimension 3

On considère les matrices :
Q15. Déterminer le polynôme caractéristique de et le décomposer en facteurs irréductibles dans .
Q16. En déduire que la matrice est diagonalisable sur . Donner la liste des valeurs propres de et la dimension des espaces propres correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de A dans cette question.
Q17. Déterminer le polynôme caractéristique de et le décomposer en facteurs irréductibles dans , puis dans . Vérifier que .
Q18. La matrice est-elle diagonalisable sur ? Est-elle diagonalisable sur ? Donner la liste des valeurs propres réelles puis complexes de et la dimension des espaces propres sur et correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de dans cette question.
On considère :
Q19. Exprimer à l'aide de la matrice .
Soit .
Q20. Calculer . En déduire à nouveau que la matrice est diagonalisable sur .

Partie II - Étude d'un endomorphisme

Objectifs

Dans cette partie, on introduit la matrice et on en étudie ses propriétés spectrales à l'aide d'un endomorphisme de dérivation.
Soit un entier naturel fixé. Pour , on note la fonction définie par :
On note le -espace vectoriel défini par :
Q21. Montrer que la famille ( ) est libre. En déduire la dimension de l'espace vectoriel complexe .
Q22. Pour , montrer que . En déduire que :
définit un endomorphisme de et que sa matrice dans la base ( ) est la matrice :
Pour , on note la fonction définie par : .
Q23. Montrer que: .
Q24. En déduire, à l'aide de la formule du binôme de Newton, que: .
Q25. Pour , calculer . En déduire que est diagonalisable. Donner la liste des valeurs propres complexes de et décrire les espaces propres correspondants.
Q26. Pour quelles valeurs de l'endomorphisme est-il un automorphisme de ?
Q27. Écrire la décomposition de dans la base et en déduire que :
où pour tout , on note .

Partie III - Les matrices de Kac de taille

Objectifs

Dans cette partie, on introduit la matrice . On utilise les résultats de la Partie II pour étudier les propriétés spectrales de la matrice .
Soit un entier naturel fixé. On note la matrice tridiagonale suivante :
Le terme général de la matrice vérifie donc :
  • si ,
  • si ,
  • pour tous les couples non couverts par les formules précédentes.
On note enfin la matrice diagonale dont le -ième terme diagonal vérifie .
Q28. Soient une matrice de taille et une matrice diagonale de taille . Exprimer le terme général de la matrice en fonction des et des , puis exprimer le terme général de la matrice en fonction des et des .
Q29. Montrer que où est la matrice déterminée dans la Partie II. En déduire une relation simple entre et , où et sont les polynômes caractéristiques respectifs de et .
Q30. En déduire, à l'aide de la Partie II, que est diagonalisable sur , que les valeurs propres de sont les entiers de la forme pour et que :
où pour tout , on note .

Partie IV - Un peu de probabilités

Objectifs

Dans cette partie, on donne une application probabiliste de l'étude de la matrice . Seul le résultat de la question Q30 est utilisé, cette partie peut être traitée en admettant si besoin ce résultat.
Étant donné un entier , on dispose de deux urnes et contenant à elles deux boules numérotées de 1 à . On note la variable aléatoire égale au nombre de boules initialement contenues dans l'urne .
À chaque instant entier , on choisit un des numéros de façon équiprobable puis on change d'urne la boule portant ce numéro. Les choix successifs sont supposés indépendants.
Pour , on note la variable aléatoire égale au nombre de boules dans l'urne après l'échange effectué à l'instant .
Exemple : supposons et qu'à l'instant 0 , l'urne contient les boules numérotées et l'urne la boule 2 . On a dans ce cas .
  • Si le numéro 3 est choisi à l'instant 1 , on retire la boule 3 de et on la place dans . On a alors .
  • Si le numéro 2 est choisi à l'instant 1 , on retire la boule 2 de et on la place dans . On a alors .
Pour , on note l'événement ( ) et sa probabilité.
On note enfin le vecteur qui code la loi de la variable aléatoire .
Q31. Pour , que peut-on dire de la famille ( )?
Q32. Si l'urne contient boules à l'instant , combien peut-elle en contenir à l'instant ?
Q33. Pour et , déterminer :
On traitera séparément les cas et .
Q34. Démontrer que pour tout ,
et que :
Q35. En déduire que pour tout ,
où est la matrice introduite dans la Partie III.
On suppose jusqu'à la fin du Problème qu'à l'instant 0 , on a disposé de façon équiprobable et indépendamment les unes des autres les boules dans l'une des urnes ou .
Q36. Déterminer la loi de .
Q37. Montrer que pour tout a la même loi que . On pourra utiliser la question Q30 de la Partie III.
Q38. Démontrer que est l'unique loi de probabilité ayant la propriété suivante : si suit la loi , alors toutes les variables suivent la loi .

FIN

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