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CCINP Mathématiques PSI 2019

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Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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CCINP
Année
2019
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2019PSI MathsMaths 2019
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

PROBLÈME 1

Objectifs

Dans la partie , on considère deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables sur et on s'interroge sur l'existence d'un développement en série entière dans un voisinage de 0 pour ces fonctions. Dans la partie II, indépendante de la partie I, on démontre le théorème de Borel en construisant, pour toute suite réelle , une fonction indéfiniment dérivable sur telle que pour tout , .

Partie I - Deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables

On considère la fonction définie sur par :
Q1. Montrer que la fonction est bien définie sur .
Pour tout , on note .
Q2. Pour tout , justifier l'existence de et déterminer une relation entre et .
Q3. En déduire, pour tout , la valeur de .
Q4. Montrer que est indéfiniment dérivable sur et déterminer, pour tout et tout , .
Q5. En déduire le rayon de convergence de la série entière .
La fonction est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?
On considère la fonction définie sur par :
Q6. Montrer que est indéfiniment dérivable sur et déterminer, pour tout et tout , .
Q7. Montrer que pour tout .
Q8. En déduire le rayon de convergence de la série entière .
La fonction est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

Partie II - Le théorème de Borel

Q9. Déterminer deux nombres complexes et tels que pour tout :
Q10. On considère la fonction définie sur par: . Montrer par récurrence que pour tout et tout :
Q11. Déterminer, pour tout , la dérivée -ième de la fonction définie sur par :
Q12. Montrer que pour tout et tout .
En déduire que pour tout et tout , on a :
Q13. Pour tout réel , notons la fonction définie sur par :
Montrer que pour tout et tout :
On considère une suite réelle et on lui associe la suite de fonctions définie sur par :
Q14. Pour tout , on note . Montrer que pour tout entier , tout entier et tout réel , on a :
Q15. En déduire que pour tout entier et tout entier et déterminer .
Q16. Montrer que pour tout entier , tout entier et tout réel , on a :
Q17. En déduire que la fonction est bien définie et indéfiniment dérivable sur .
Q18. Montrer que et pour tout entier .
Q19. Déduire de ce qui précède que pour toute suite réelle , il existe une fonction indéfiniment dérivable sur telle que pour tout .
Ce résultat est appelé théorème de Borel. Il a été démontré par Peano et Borel à la fin du xix siècle.

PROBLÈME 2

Notations et définitions

  • Soient et .
  • désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans . Si , on notera encore la fonction polynomiale associée.
  • et désignent respectivement les ensembles des matrices carrées de taille à coefficients dans et dans . et désignent respectivement les ensembles des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans et dans .
  • On note la matrice identité de et la matrice de ne comportant que des 0 .
  • On note le polynôme caractéristique d'une matrice , c'est-à-dire le polynôme .
  • Étant donnée une matrice , on note l'ensemble des valeurs propres complexes de .

Objectifs

Dans la partie I, on détermine les valeurs propres d'une matrice tridiagonale symétrique réelle particulière. On utilise les résultats démontrés dans la partie pour résoudre, dans la partie II, un système différentiel.

Partie I - Éléments propres d'une matrice

I. 1 - Localisation des valeurs propres

On considère une matrice . Soient une valeur propre de et un vecteur propre associé .
Q20. Montrer que pour tout , on a : .
Q21. Soit tel que . Montrer que : .
En déduire que :
Soient et deux nombres réels. On considère la matrice définie par :
Q22. Justifier que les valeurs propres de sont réelles.
Q23. Soit une valeur propre de . Montrer que :

I. 2 - Calcul des valeurs propres de

Q24. En utilisant la question Q23, montrer que pour toute valeur propre de , il existe tel que .
On note le polynôme .
Q25. Établir, pour , une relation entre et .
En déduire, pour , une relation entre et .
Q26. Montrer par récurrence sur que pour tout :
Q27. Déduire de la question précédente que l'ensemble des valeurs propres de est . Déterminer la multiplicité des valeurs propres et la dimension des espaces propres associés.
Considérons et posons .
Q28. Montrer que pour tout vecteur propre de associé à la valeur propre , on a :
Soit l'ensemble des suites réelles vérifiant la relation de récurrence :
Q29. Montrer que est un espace vectoriel sur dont on précisera la dimension.
Q30. Déterminer l'ensemble des suites telles que .
Q31. En déduire l'espace propre de associé à la valeur propre .
Q32. En déduire, pour tout , l'ensemble des valeurs propres de et les espaces propres associés. On distinguera le cas du cas .

Partie II - Système différentiel

II. 1 - Matrices par blocs

On considère et des matrices de telles que et commutent.
Q33. Calculer .
L'objectif des trois prochaines questions est de démontrer la relation :
Q34. Montrer l'égalité (1) dans le cas où est inversible.
Q35. On ne suppose plus inversible. Montrer qu'il existe tel que pour tout entier , est inversible.
Q36. En déduire que l'égalité (1) est également vraie dans le cas où n'est pas inversible.
Considérons une matrice et formons la matrice :
Q37. Montrer que .
Q38. Soient et un vecteur propre de associé à la valeur propre . Montrer que le vecteur est vecteur propre de associé à la valeur propre .
Q39. Montrer que si est diagonalisable et inversible, alors est également diagonalisable et inversible.

II. 2 - Application à un système différentiel dans le cas où

On considère le système différentiel :
Q40. Déterminer tel que le système (2) soit équivalent au système différentiel du premier ordre , où et .
Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des solutions de ce système?
Q41. En utilisant la question Q37, déterminer les valeurs propres de et en déduire que est diagonalisable.
On considère la matrice :
Q42. En utilisant la question , déterminer une matrice inversible dont la première ligne ne comporte que des 1 et telle que .
Q43. Déterminer l'ensemble des solutions du système différentiel , avec .
Q44. Déterminer la solution du système différentiel (2) avec conditions intiales .

FIN

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