N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Étude d'un endomorphisme matriciel

Présentation générale

Dans tout l'exercice, on considère un entier

.
Pour toute matrice

, on note

définie par

. En particulier, on remarque qu'en notant

la matrice nulle de

la matrice d'identité de

, alors

est l'application nulle de

est l'application identité de

L'objectif de cet exercice est d'étudier quelques propriétés de l'application

Partie I - Généralités

Q1. Montrer pour tout

que l'application

est un endomorphisme de

.
Q2. Montrer pour tout

que

.
Q3. Soit

. Déduire de la question précédente que

est un isomorphisme si et seulement si la matrice

est inversible. Indication : si

est un isomorphisme, on pourra considérer un antécédent par

de la matrice identité de

Partie II - Étude d'un exemple

Dans cette partie uniquement, on suppose que

. On considère un nombre

et la matrice :

Q4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le nombre

pour que la matrice

soit diagonalisable.

Q5. Déterminer la matrice de

dans la base

.
Q6. En déduire les valeurs propres de

, puis déterminer la dimension de chaque sous-espace propre de

en fonction de

Q7. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

pour que

soit diagonalisable.

Partie III - Réduction de si est diagonalisable

Dans cette partie, on considère une matrice

. Nous allons étudier les propriétés liant les éléments propres de la matrice

et ceux de l'endomorphisme

Q8. Montrer pour tout

que

.
Q9. En déduire pour tout polynôme

que

.
Q10. Rappeler la caractérisation de la diagonalisabilité d'une matrice ou d'un endomorphisme à l'aide d'un polynôme annulateur. En déduire que la matrice

est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme

est diagonalisable.

Q11. On note

le polynôme caractéristique de

. Montrer que

est l'endomorphisme nul. En déduire une inclusion entre l'ensemble des valeurs propres de

et l'ensemble des valeurs propres de

, puis que la matrice

et l'endomorphisme

ont les mêmes valeurs propres.
Q12. Soit

une valeur propre de

. Montrer qu'une matrice

est dans le sous-espace propre

pour la valeur propre

si et seulement si chaque colonne de la matrice

est dans le sous-espace propre

de la matrice

pour la valeur propre

.
On déduit directement de la question précédente que pour toute valeur propre

de la matrice

, l'application

qui à toute matrice de

associe le

-uplet de ses colonnes :

est un isomorphisme du sous-espace propre de

sur

.
Q13. Dans le cas où la matrice

est diagonalisable, déduire des résultats de cette partie une expression du déterminant et de la trace de

en fonction du déterminant et de la trace de

EXERCICE 2

Les polynômes de Hermite

Présentation générale

On définit la suite des polynômes de Hermite dans

par

et la relation de récurrence :

L'objectif de ce problème est d'établir quelques propriétés de cette famille de polynômes.

Partie I - Préliminaires

Les deux sous-parties suivantes peuvent être traitées de manière indépendante.

I. 1 - Un produit scalaire sur l'espace des polynômes

Dans cette sous-partie, on introduit un produit scalaire sur

.
Q14. Soit

. Montrer que la fonction

est intégrable sur

, puis en déduire que cette fonction est intégrable sur

Q15. En déduire pour tout polynôme

que la fonction

est intégrable sur

.
On déduit de la question précédente que l'on peut définir l'application

par :

Q16. Montrer que

est un produit scalaire sur

I. 2 - Calcul de l'intégrale de Gauss

Dans cette sous-partie, on détermine la valeur de l'intégrale

dont on a prouvé la convergence dans la sous-partie précédente.

On considère les fonctions

définies pour tout

par :

Q17. Justifier que

est de classe

sur

et donner une expression de sa dérivée.
Q18. Justifier que

est de classe

sur

et donner une expression de sa dérivée.
Q19. Montrer que la fonction

est constante sur

, puis que sa valeur est

.
Q20. En déduire que la valeur de l'intégrale

est

Partie II - Quelques propriétés des polynômes de Hermite

Dans cette partie, on établit quelques propriétés sur la famille des polynômes de Hermite. On rappelle que la suite

est définie dans la présentation générale de l'exercice.
On considère la fonction

.
Q21. Pour tout

, montrer que

est de degré

et que son coefficient dominant est

.
Q22. Montrer pour tout

et tout

qu'on a

.
On rappelle que le produit scalaire

sur

est défini dans la sous-partie I.1.
Q23. Soit

avec

. Montrer pour tout entier

que :

Q24. Soit

. Montrer que la famille

est une base orthogonale de

.
Q25. Pour tout entier

, calculer la norme du polynôme

Partie III - Série génératrice exponentielle des polynômes de Hermite

Dans cette partie, on considère un nombre

III. 1 - Expression de la série génératrice

L'objectif de cette première sous-partie est de démontrer que la série entière

de la variable complexe

admet un rayon de convergence infini et on calcule sa somme.
Q26. Donner les développements en série entière des fonctions

sur

en précisant leur rayon de convergence respectif.
Q27. Montrer qu'il existe une suite de nombres complexes

, qu'on ne cherchera pas à déterminer explicitement, telle que la série entière

ait un rayon de convergence infini et que :

En considérant la fonction

introduite dans la partie II, on déduit du résultat de la question ci-dessus que l'on a l'égalité :

Q28. En utilisant la relation ci-dessus et la question Q22, en déduire que la série entière

admet un rayon de convergence infini et que :

III. 2 - Expression intégrale des polynômes de Hermite

Dans cette seconde sous-partie, on exploite les résultats de la sous-partie précédente afin d'établir une expression intégrale pour les polynômes de Hermite.
On considère un entier

et la fonction

. On définit également pour tout

la fonction

.
Q29. Montrer que la série

converge normalement sur l'intervalle

.
Q30. Montrer que :

EXERCICE 3

Succession de tirages dans une urne

Présentation générale

On fixe une suite

d'entiers naturels non nuls. On suppose que l'on dispose d'un stock illimité de boules blanches et on considère une urne contenant initialement une boule blanche et une boule rouge indiscernables au toucher. On procède à des tirages successifs dans cette urne en respectant à chaque fois le protocole suivant pour tout

si la boule tirée est de couleur blanche lors du -ème tirage, on la replace dans l'urne et on ajoute boules blanches supplémentaires;
si la boule tirée est de couleur rouge lors du -ème tirage, on la replace dans l'urne.

Pour tout

, on désigne par

l'évènement «la boule tirée lors du

-ième tirage est blanche» et on note :

L'objectif principal de cet exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

pour que la probabilité de l'évènement

soit nulle.

On considère également la suite

définie par :

On rappelle que si

sont deux évènements avec

, on note

la probabilité conditionnelle de

sachant

Partie I - Probabilité de l'évènement

Dans cette partie, on considère la suite

définie par

pour tout

.
Q31. Montrer que la suite

est décroissante. En déduire que cette suite est convergente, puis justifier que

Q32. Soit

. Si l'évènement

est réalisé, décrire la composition de l'urne en fonction de

juste avant d'effectuer le

-ième tirage. En déduire la probabilité

Q33. Montrer pour tout

que :

Partie II - Caractérisation de la propriété

Q34. Montrer que la suite

diverge vers

.
Q35. Montrer que les séries

sont de même nature.
Q36. Montrer que

si et seulement si la série

est divergente.
Q37. Dans cette question, on suppose que

pour tout

. Déterminer

.
Q38. Proposer une suite

telle que

en justifiant votre réponse.