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CCINP Mathématiques PC 2021

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsIntégrales généralisées
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Banque
CCINP
Année
2021
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2021PC MathsMaths 2021
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Les urnes de Pólya

On fixe un couple d'entiers . On suppose que l'on dispose d'un stock illimité de boules blanches et de boules rouges et on considère une urne contenant initialement boules blanches et boules rouges indiscernables au toucher. On procède à des tirages successifs dans cette urne en respectant à chaque fois le protocole suivant :
  1. si la boule tirée est de couleur blanche, on la replace dans l'urne et on ajoute une boule blanche supplémentaire;
  2. si la boule tirée est de couleur rouge, on la replace dans l'urne et on ajoute une boule rouge supplémentaire.
    Le premier objectif de cet exercice est de calculer la probabilité de tirer une boule blanche lors du -ième tirage. Le second objectif est de déterminer la loi du nombre de boules blanches se trouvant dans l'urne à l'issue du -ième tirage dans un cas particulier.
Pour tout , on désigne par la variable aléatoire égale à 1 si la boule tirée au -ième tirage est blanche, 0 si la boule tirée au -ième tirage est rouge. On considère également la suite de variables aléatoires réelles définie par :
On rappelle que si et sont deux évènements avec , on définit la probabilité conditionnelle de sachant (notée ou ) par :

Partie I - Préliminaires

Q1. Déterminer la loi de .
Q2. Déterminer la loi conditionnelle de sachant l'évènement ( ). En déduire la loi de .
Q3. Soit . Que représente la variable aléatoire ? Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire ?

Partie II - La loi de

Dans cette partie, on considère un entier .
Q4. Pour tout , calculer .
Q5. À l'aide de la formule des probabilités totales, justifier que :
Q6. Montrer par récurrence que suit la loi de Bernoulli de paramètre pour tout .

Partie III - La loi de dans un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que et on considère un entier .
Q7. Exprimer l'évènement avec les évènements pour .
Q8. Montrer que .
On admet dans la suite que l'on a de même .
Q9. Soit . Calculer la probabilité dans chacun des trois cas suivants :
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
Q10. Montrer que pour tout , on a la relation :
Q11. Montrer par récurrence que suit la loi uniforme sur .

EXERCICE 2

Résolution d'une équation fonctionnelle

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les fonctions vérifiant les relations :

Partie I - Existence et unicité de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on démontre que le problème admet une unique solution et on détermine une expression de celle-ci sous la forme d'une série de fonctions.

I. 1 - Existence de la solution

Pour tout , on définit la fonction par :
Q12. Montrer que la série de fonctions converge simplement sur .
Dans tout le reste de cet exercice, on note la somme de la série .
Q13. Montrer que pour tout , on a .
Q14. En utilisant le théorème spécial des séries alternées, montrer que :
Q15. Montrer que la fonction est une solution de (P).

I. 2 - Unicité de la solution

Q16. Montrer que si est une solution de (P), alors pour tout , on a :
Q17. En déduire que la fonction est l'unique solution de .

Partie II - Étude de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on étudie quelques propriétés de l'unique solution du problème .
Q18. Soit . Montrer que la série de fonctions converge uniformément sur .
Q19. Montrer que la fonction est continue sur . En utilisant le fait que est une solution du problème , en déduire un équivalent simple de au voisinage de .
Q20. Justifier que la fonction est dérivable sur et que l'on a :
Q21. En déduire que la fonction est décroissante sur .
Q22. En utilisant le résultat de la question précédente et la relation , montrer que :
En déduire un équivalent de en .

Partie III - Expression intégrale de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on détermine une expression de sous la forme d'une intégrale. On considère un élément .
Q23. Pour tout , montrer que la fonction est intégrable sur et que l'on a :
Q24. En déduire que la fonction est intégrable sur et que :

EXERCICE 3

Approximation d'une racine carrée par la méthode de Héron

Dans tout l'exercice, on considère un entier et on note la matrice identité de . De plus, si , on désigne par la transposée de la matrice et par la trace de la matrice .

Partie I - Approximation de la racine carrée d'un réel positif

On considère la suite de fonctions définie par :
et la relation de récurrence :
On admet que la suite est correctement définie par les relations ci-dessus. Dans la suite, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité :

I. 1 - Convergence de la suite

Q25. Soit . En calculant , montrer que pour tout .
Q26. Soit . Montrer que la suite est décroissante.
Q27. Déduire des deux questions précédentes que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction définie par pour tout .

I. 2 - Majoration de l'erreur

Q28. Soit . Montrer que pour tout , on a :
Q29. Soit . En déduire que pour tout , on a :

Partie II - Généralités sur les racines carrées d'une matrice

On dit qu'une matrice admet une racine carrée s'il existe telle que . Dans ce cas, on dit que est une racine carrée de .
Q30. Soit . Montrer que si admet une racine carrée, alors .
Q31. Étudier la réciproque de la propriété établie dans la question précédente dans le cas où . On pourra considérer la matrice :
et écrire avec .
Dans tout le reste de l'exercice, on considère une matrice symétrique dont toutes les valeurs propres sont positives.
Q32. Justifier que la matrice est diagonalisable dans .
Dans la suite de l'exercice, on note les valeurs propres de comptées avec leur multiplicité. On fixe une matrice orthogonale telle que où :
On considère également la matrice avec :
Q33. Vérifier que est une matrice symétrique et une racine carrée de .

Partie III - Approximation d'une racine carrée d'une matrice symétrique

On note l'ensemble des matrices diagonales de dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs. On considère également la partie de définie par :
Q34. Vérifier que . Montrer que si , alors est une matrice inversible et on a:
La question précédente implique que l'on peut définir la suite d'éléments de par :
On considère également la suite définie par pour tout .
Q35. Soit . Exprimer en fonction de et . En déduire par récurrence sur que :
où est la fonction définie dans la partie de cet exercice.
On considère l'application définie par :
On admet que l'application est une norme sur .
Q36. Soit . Montrer que .
Q37. En déduire à l'aide de la question Q29 que pour tout , on a l'inégalité :
Q38. Conclure que la suite converge vers .

FIN

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