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CCINP Mathématiques PC 2019

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales généraliséesAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)
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CCINP
Année
2019
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2019PC MathsMaths 2019
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Polynôme de Laguerre et méthode de quadrature de Gauss

Dans tout l'exercice, on considère un entier .

Partie I - Produit scalaire sur

I. 1 - Généralités

Pour tout couple , on note :
Q1. Justifier que l'intégrale définissant est convergente.
Q2. Montrer que l'application ( ) : est un produit scalaire.

I. 2 - Calcul d'un produit scalaire

Q3. Soit . À l'aide d'une intégration par parties, établir que :
Q4. Conclure que pour tout entier .

Partie II - Construction d'une base orthogonale

On considère l'application définie sur par :

II. 1 - Propriétés de l'application

Q5. Montrer que est un endomorphisme de .
Q6. Écrire la matrice de dans la base .
Q7. En déduire que est diagonalisable et que .

II. 2 - Vecteurs propres de l'application

On fixe un entier .
Q8. Quelle est la dimension de ?
Q9. En déduire qu'il existe un unique polynôme , de coefficient dominant égal à 1 , vérifiant .
Q10. Justifier que est de degré .
Q11. Déterminer et . Vérifier que .
II. 3 - Orthogonalité de la famille ( )
On fixe un couple .
Q12. Montrer que .
Q13. En déduire que .
Q14. Montrer que est une base orthogonale de . On pourra utiliser Q9 et Q13.

Partie III - Méthode de quadrature de Gauss

On admet que le polynôme admet racines réelles distinctes que l'on note .
On souhaite montrer qu'il existe tel que :
Q15. Montrer qu'un -uplet vérifie (*) si et seulement si
Q16. En déduire qu'il existe un unique -uplet vérifiant (*).
Q17. Déterminer un polynôme tel que

EXERCICE 2

Étude d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle suivante :

Partie I - Solution particulière de l'équation homogène

Dans cette première partie, on souhaite déterminer les solutions développables en série entière de l'équation différentielle homogène associée à :
On fixe une suite de nombres réels telle que la série entière ait un rayon de convergence . On définit la fonction par :
Q18. Justifier que la fonction est de classe et que les fonctions et sont développables en série entière. Exprimer avec la suite les développements en série entière respectifs des fonctions et en précisant leur rayon de convergence.
Q19. Montrer qu'il existe une suite de nombres réels non nuls telle que pour tout , on a :
Q20. Montrer que est solution de sur l'intervalle si et seulement si et pour tout .
Q21. En déduire que si est solution de sur , alors et il existe tel que :
Q22. Réciproquement, montrer que si , alors la fonction
est une solution de sur développable en série entière.

Partie II - Solutions de (E) sur ]0, 1[ ou ]1, + [

On désigne par l'un des intervalles ou . Soit une fonction de classe . On définit la fonction par la relation :
Q23. Justifier que est de classe sur l'intervalle , puis exprimer et avec et .
Q24. Montrer que est solution de sur si et seulement si est solution sur de l'équation différentielle :
Q25. Montrer que si est solution de sur , alors il existe tel que :
Q26. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle ( ) sur .

Partie III - Solutions de (E) sur

Q27. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle ( ) sur .

EXERCICE 3 Étude d'une marche aléatoire

On considère trois points distincts du plan nommés et . Nous allons étudier le déplacement aléatoire d'un pion se déplaçant sur ces trois points.
À l'étape , on suppose que le pion se trouve sur le point . Ensuite, le mouvement aléatoire du pion respecte les deux règles suivantes :
  1. le mouvement du pion de l'étape à l'étape ne dépend que de la position du pion à l'étape , plus précisément il ne dépend pas des positions occupées aux autres étapes précédentes;
  2. pour passer de l'étape à l'étape , on suppose que le pion a une chance sur deux de rester sur place, sinon il se déplace de manière équiprobable vers l'un des deux autres points.
    Pour tout , on note l'évènement "le pion se trouve en à l'étape ", l'évènement "le pion se trouve en à l'étape " et l'évènement "le pion se trouve en à l'étape ". On note également :
et on considère la matrice :
Dans l'exercice, on pourra utiliser sans le démontrer le résultat suivant :
On rappelle que si et sont deux évènements avec , on définit la probabilité conditionnelle de sachant (notée ou ) par :

Partie I - Calcul des probabilités

Q28. Calculer les nombres et pour et .
Q29. Démontrer que pour tout , on a la relation .
Q30. En déduire que , puis une expression de , et pour tout .
Q31. Déterminer les limites respectives des suites et . Interpréter le résultat.

Partie II - Nombre moyen de passages en

Pour , on note le nombre moyen de passages du pion en entre l'étape 1 et l'étape et on définit la variable aléatoire :
éééé
Q32. Interpréter la variable aléatoire et le nombre .
Q33. Calculer l'espérance de la variable aléatoire pour .
Q34. En déduire une expression de .

Partie III - Temps d'attente avant le premier passage en

On définit la variable aléatoire de la façon suivante :
  1. si le pion ne passe jamais en , on pose ;
  2. sinon, est le numéro de l'étape à laquelle le pion passe pour la première fois en .
Nous allons déterminer la loi de et son espérance.
Q35. Calculer et .
Q36. Soit . Exprimer en fonction de et .
Q37. Établir que , puis en déduire que .
Dans la suite, on admet la relation :
Q38. Pour , calculer . Que vaut ?
Q39. Justifier que la variable aléatoire admet une espérance. Quelle est l'espérance de ?

FIN

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