Lundi 30 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est constitué d'un seul problème en six parties.

Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

On rappelle que désigne le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour entier naturel, désigne le sous-espace vectoriel de des polynômes de degré inférieur ou égal à . On précise que l'on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée. Soit un polynôme de . On note sa dérivée -ième.
On considère l'application de dans lui-même définie par :

Pour , on note et . Les polynômes sont appelés polynômes de Legendre. Pour entier naturel, désigne le coefficient dominant de .

Q1. Déterminer et vérifier que .

Dans la suite de cette partie, désigne un entier naturel.

Q2. Justifier que est de degré et préciser la valeur de .
Q3. Montrer que la famille est une base de .
Q4. Pour , déterminer les racines de , en précisant leur ordre de multiplicité, puis justifier qu'il existe un réel et un réel , que l'on ne cherchera pas à déterminer, tels que :

On pourra utiliser le théorème de Rolle.

Q5. Dans cette question seulement, . Soit . On suppose qu'il existe des réels deux à deux distincts dans ] [ et un réel tels que:

Justifier qu'il existe des réels deux à deux distincts dans [ et un réel tels que :

Q6. En déduire que, pour admet racines réelles simples, toutes dans . On les note , en convenant que .

En convenant que , on a donc: .

Q7. Prouver que est un endomorphisme de .

Dans les questions Q8 à Q13, désigne un entier naturel.

Q8. Justifier que est stable par .

On note l'endomorphisme de induit par . Cet endomorphisme est donc défini par : .

Q9. On note la matrice de dans la base canonique de . Montrer que est triangulaire supérieure et que : .

Q10. Montrer que est diagonalisable. On pourra utiliser la question .
Q11. Vérifier que: .
Q12. Soit . En dérivant ( ) fois la relation de la question Q11, montrer grâce à la formule de dérivation de Leibniz que : .

Q13. Montrer que, pour , le polynôme est un vecteur propre de , en précisant la valeur propre associée. On pourra utiliser la question Q12.

Q14. Déduire de ce qui précède les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de .

Dans la suite du problème, pour et éléments de , on définit :

Q15. Justifier que . .

On note . .

Q16. Établir que: , puis que :

Q17. Montrer que la famille de polynômes de est orthogonale pour le produit scalaire . .

Q18. Montrer que: .
Q19. On admet que . Pour , on pose . Que peut-on dire de la famille de polynômes de pour le produit scalaire .

Dans la suite de cette partie, désigne un polynôme de .
Pour , on note la distance de au sous-espace .

Q20. Soit . En utilisant un résultat de votre cours, justifier qu'il existe un unique polynôme de tel que : , puis justifier l'égalité :

Q21. Prouver que la série converge et que : .

On admet dans la suite du problème que et on considère la série entière de la variable . On note la racine positive du polynôme .

Q22. Montrer que : . On pourra raisonner par récurrence et utiliser la relation admise au début de cette partie.

Q23. Pour , on note le rayon de convergence de la série entière . Montrer que : .

Q24. Pour et , on pose . Montrer que est solution sur de l'équation différentielle linéaire du premier ordre:

Q25. En déduire que : .
Q26. Indiquer une méthode permettant, à partir du seul résultat de la question Q25, de retrouver l'expression des polynômes et .

Pour et , on pose : .

Q27. Soit [. Pour , on considère la fonction de dans définie par : . Montrer que converge normalement sur .

Q28. Justifier l'égalité : .

Dans les questions Q29 et Q30, a désigne un réel strictement positif.

Q29. Montrer que . On pourra utiliser le changement de variable défini par .

Q30. Montrer que : . On pourra utiliser le changement de variable défini par .

Q31. En déduire que :

Q32. Déduire de ce qui précède que: .
Q33. Justifier que : .
Q34. Prouver que : . On pourra raisonner par l'absurde et montrer qu'alors, pour tout de tel que , on a: .

Dans les questions Q35 à Q43, désigne un entier naturel non nul.

Q35. Soit une application de dans de classe sur telle qu'il existe réels vérifiant: . Montrer qu'il existe un réel tel que: .

Q36. Pour , on note l'application linéaire définie sur , à valeurs dans , par: (on rappelle que désignent les racines de et qu'elles sont deux à deux distinctes). Montrer que ( ) est libre dans .

Q37. En déduire que pour toute application linéaire de dans , il existe un unique -uplet de réels tel que : .

Q38. Montrer qu'il existe un unique -uplet de réels tel que:

Q39. Montrer que la relation de la question Q38 reste vérifiée pour tout de . On pourra, pour , utiliser la division euclidienne de par et la question Q18.

Dans la suite du problème, désigne une application de dans , de classe sur .

Q40. Montrer que: . On pourra commencer par déterminer le noyau de l'application linéaire de dans qui à associe : .

On rappelle que a été défini à la question Q 6 .

Q41. Soit tel que: .
Montrer que : . On pourra considérer l'application
définie sur par , où est un réel dépendant de préciser, et appliquer le résultat de la question à la fonction .

Q42. Montrer que: .
Q43. Justifier l'existence de , puis prouver que :

Q44. Déterminer un équivalent simple au voisinage de de .