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CCINP Mathématiques 2 TSI 2012
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI
MATHEMATIQUES 2
Durée : 3 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées
L'objectif de ce problème est d'étudier la fonction
Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes les unes des autres.
L'ensemble des nombres réels sera noté
L'ensemble des nombres réels sera noté
Partie I : existence de
Soit
- a. Donner le tableau de variations de
. On fera figurer les limites en 0 et en . - b. Tracer la courbe représentative de
. On précisera la demi-tangente en et l'asymptote. - Démontrer que
est définie et de classe sur et donner sa dérivée. On citera précisément le théorème utilisé. - Montrer que l'intégrale
est convergente.
Partie II : calcul de
On pose, pour tout
- Montrer que
est bien définie et de classe sur . On pourra montrer que pour tout réel strictement positif, la restriction de à l'intervalle est de classe . Donner l'expression de . - a. Montrer que la fonction
est constante. On pourra faire un changement de variable linéaire dans l'une des intégrales apparaissant dans la dérivée de . - b. Calculer cette constante en considérant
. - a. Montrer que, pour tout
.
En déduire que :
3. b. Déduire de ce qui précède que
4. Étudier les variations de
3. b. Déduire de ce qui précède que
4. Étudier les variations de
Partie III : calcul de
- Si
est un réel strictement positif, on note .
On pose :
En utilisant un changement de variables en coordonnées polaires, montrer que :
En utilisant un changement de variables en coordonnées polaires, montrer que :
- Si
est un réel strictement positif, on note le carré .
Exprimer
3. a. Représenter les trois ensembles
3. b. Montrer que pour tout
4. En déduire que
5. Retrouver, grâce à ce qui précède, la valeur de
3. a. Représenter les trois ensembles
3. b. Montrer que pour tout
4. En déduire que
5. Retrouver, grâce à ce qui précède, la valeur de
Partie IV : développements en séries entières
Soit
Dans cette partie, on désire étudier le développement en série entière des fonctions
Dans cette partie, on désire étudier le développement en série entière des fonctions
- a. Rappeler, sans démonstration, le développement en série entière sur
de la fonction . - b. En déduire que la fonction notée encore
est développable en série entière sur , et donner son développement. - a. Montrer que
est développable en série entière sur . On citera précisément le théorème utilisé. - b. Donner le développement en série entière de
sur . - On s'intéresse maintenant à la fonction
définie au début de cette partie.
On considère l'équation différentielle
On désire déterminer les solutions de
3. a. Soit
3. b. En déduire que, pour tout entier naturel
3. c. Réciproquement, on considère la série entière
3. d. Montrer que
3. e. Déduire de ce qui précède que
On désire déterminer les solutions de
3. a. Soit
3. b. En déduire que, pour tout entier naturel
3. c. Réciproquement, on considère la série entière
3. d. Montrer que
3. e. Déduire de ce qui précède que