Les calculatrices sont autorisées
N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On considère le plan vectoriel euclidien .
Pour les dessins, on munira la feuille de papier millimétré d'une origine placée au centre de la feuille et on représentera le vecteur par le point tel que .
Soit une autre base de , non nécessairement orthonormée. Si est un vecteur de , on notera ses coordonnées dans et ses coordonnées dans . On notera et les matrices colonnes :

et on notera la matrice de passage de à .
On s'intéresse à la courbe d'équation (on notera qu'il s'agit d'une équation donnée dans la base ).
La transposée d'une matrice se notera .
On munit de son produit scalaire usuel : si et sont deux éléments de avec et on pose ; on définit également : la norme de .

Vous pouvez utiliser votre calculatrice pour faire certains calculs à condition de le mentionner sur votre copie

Pla - Donner une relation entre les matrices et .
P1b - Considérons l'exemple suivant : et . Justifier sommairement sans utiliser la relation ci-dessus qu'on a alors :

Écrire la matrice correspondante, puis vérifier sur cet exemple la validité de la formule obtenue au Pla.
P2 - Quelle est la nature de lorsque est orthonormée?
P3a - Pour , donner la matrice inverse .
P3b - Calculer la matrice . Déterminer les valeurs propres de , puis donner une matrice orthogonale et une matrice diagonale telles que .
P4 - Soient trois réels et vérifiant . Justifier sommairement que la courbe d'équation (dans ) est soit une ellipse, soit un cercle, soit l'ensemble vide.

On suppose dans cette partie que .
On appelle et les droites engendrées respectivement par et par . Soit la symétrie par rapport à et de direction .
I. 1 - Donner les coordonnées dans de en fonction des coordonnées de dans .
I. 2 - On appelle l'intersection de avec le demi-plan d'équation , ainsi que l'intersection de avec le demi-plan d'équation .
Justifier que , puis que est la réunion de et de .
I. 3 - Prouver que si , alors .
I. 4 - Déterminer alors une fonction définie sur telle que soit la courbe représentative de dans la base .
I. 5 - Le dessin de est le suivant :

Expliquer en quoi les résultats des questions I. 1 à I. 4 permettent de l'obtenir. Décrire quelle est la partie du dessin correspondant à .
I. 6 - Donner l'expression des coordonnées u,v d'un vecteur dans en fonction de ses coordonnées dans . En déduire qu'une équation de est:

I. 7 - Justifier que est une ellipse dont on donnera un vecteur directeur de chacun des deux axes, les demi-longueurs et du grand et du petit axe, ainsi que l'excentricité e. On pourra utiliser la réduction de la matrice de la question P 3 .

On revient au cas général. La matrice désigne donc une matrice inversible quelconque d'ordre 2.
II. 1 - Justifier que si et seulement si .
II. On pose et . Justifier que si et seulement si .
II. 3 - Montrer que est symétrique. En déduire qu'il existe une base orthonormale dans laquelle l'équation de est: , où et sont les valeurs propres de et où désigne les coordonnées de dans .
II. 4 - Soit un vecteur propre de associé à la valeur propre . Montrer que . En déduire que les valeurs propres de sont positives.
II. 5 - Montrer que est inversible ; en déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.
II. 6 - Justifier que est un cercle ou une ellipse dont les axes sont dirigés par les vecteurs propres de A.

Soit l'endomorphisme dont la matrice dans est et soit le cercle de centre et de rayon 1 . On pourra utiliser sans démonstration le théorème suivant :

Si est une courbe de ayant pour tangente en , et si est un endomorphisme bijectif de , alors est une courbe qui admet pour tangente en .

On rappelle par ailleurs qu'on identifie le vecteur avec le point tel que .
III. 1 - Soit de coordonnées dans . On appelle les coordonnées de dans . Établir que .
III. En déduire que .
III. 3 - En utilisant la droite d'équation (dans ), montrer que la droite d'équation (dans ) est tangente à au point de coordonnées 1,0 dans .

Déterminer de même la tangente à en trois autres points.
III. 4 - Soit .

On considère les deux droites et définies comme suit (les coordonnées sont données dans ) :

Prouver que et sont orthogonales.
Justifier alors que et sont sécantes en un point de , puis en déduire une construction du point .
III. 5 - Construire par cette méthode sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet, l'ellipse obtenue pour la matrice :

On prendra pour ce faire différentes valeurs de entre 0 et 1 et on complétera la courbe obtenue par symétrie. On choisira 2 cm pour unité. On fera également figurer certaines tangentes remarquables.
III. 6 - Soit un parallélogramme et soit son aire. Montrer que l'aire est . On admet que plus généralement, si est une partie de d'aire finie, alors l'aire de est .
En déduire l'aire de la partie bornée du plan délimitée par .