CCINP Mathématiques 2 TSI 2008

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On pose , où et sont réels.

Toutes les parties de ce sujet sont indépendantes entre elles et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.

On considère la fonction définie sur par .
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormé .
1.1 Justifier la possibilité de restreindre l'étude de à .
1.2 Que peut-on en déduire pour ( ) ?
2. On note l'intervalle pour .

Etudier, en fonction de la parité de , les variations de sur .
3.1 Montrer que les points de (C) d'abscisse tels que sont situés sur deux droites dont on précisera les équations.
3.2 Construire la courbe (C) pour (échelle : carreaux sur les axes).
4.1 Montrer que l'équation admet dans tout intervalle une solution unique. On note cette solution, qu'on ne cherchera pas à calculer.
4.2 Montrer que .
4.3 Donner un équivalent de quand .
4.4 Montrer que .
4.5 En déduire que , où tend vers zéro quand tend vers l'infini (on rappelle que pour , et que est équivalent à au voisinage de 0 ).

Soit une fonction réelle de variable réelle, de classe par morceaux, de période .
On note la pulsation de , et un intervalle de longueur .
Pour entier naturel, on note et les coefficients de Fourier trigonométriques de , donnés par :
pour .
Pour , on appelle harmonique de rang la quantité .
On pose , qu'on appelle amplitude de .

On appelle phase de (par convention, on choisit ; si est nul, n'existe pas).
2. On choisit dans cette question la fonction de période , définie par :

2.1 Que peut-on dire de ?
2.2 Que peut-on en déduire pour les coefficients de Fourier de ?
2.3 Écrire le développement en série de Fourier de .
2.4 Quelle est la somme de cette série ? (on énoncera de façon précise le théorème utilisé)
2.5 Exprimer et si elle existe.
3. On considère la série numérique de terme général pour .
3.1 Montrer que cette série est convergente.
3.2 Déduire de la question 2. la somme .
4. On conserve les notations des questions 2. et 3. ci-dessus.
4.1 Énoncer la formule de Parseval.
4.2 Calculer .
4.3 En déduire la valeur de .

On note l'opérateur laplacien : soit W un ouvert de , et élément de ,

Montrer que pour , on a : .
On considère dans les mêmes conditions, l'équation : , où est un réel strictement positif, c'est-à-dire l'équation .
2. On définit la fonction par .

Montrer que vérifie l'équation différentielle (V) : .
3. Résoudre l'équation (V), en déduire pour les solutions réelles de (U).
4. Déterminer les solutions non nulles de ( U ) admettant une limite finie quand tend vers 0 .
5. On ne conserve pour la suite que les solutions obtenues à la question 4 ci-dessus.

On impose de plus . Déterminer l'équation ( ) que doit vérifier pour que cette condition supplémentaire soit satisfaite.
6. Montrer graphiquement que l'équation admet une solution et une seule dans tout intervalle où est un entier naturel.
On notera cette solution, qu'on ne cherchera pas à calculer.
7. Si et sont deux entiers naturels distincts, on note et deux solutions de (U) associées respectivement aux valeurs et solutions de ( ).
Montrer que :