N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Problème

La partie I est indépendante de la suite du problème.

I) A) On considère l'équation différentielle (

) :

, définie sur

a) Résoudre l'équation homogène associée.
b) Déterminer une solution particulière de l'équation complète.
c) Exprimer l'ensemble des solutions de l'équation ( ).
Préciser la solution de l'équation ( ) telle que .
B) On considère l'équation différentielle ( ) : , définie sur .
a) Déterminer une solution de l'équation homogène associée de la forme .
b) Chercher une autre solution de l'équation homogène associée de la forme : , en donnant à la valeur trouvée à la question précédente. On montrera que K ' vérifie une équation différentielle du premier ordre.
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation homogène associée.
a) Vérifier que la fonction définie par est une solution particulière de l'équation ( ).
b) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation ( ).
Démontrer que la fonction (définie à la question ) 2 )) est l'unique solution de l'équation ( ) telle que .
II) Etude de la fonction f.
est définie sur par : .
a) Etudier les variations de la fonction f.
b) Etudier les branches infinies de f et construire une allure de la représentation graphique.
c) Déduire de l'étude des variations de f que : .
a) Déterminer une primitive de la fonction .
b) Démontrer que l'intégrale converge et la calculer.
c) Quelle est la nature de l'intégrale : ?
III) Comparaison des moyennes.
étant n nombres réels strictement positifs, on appelle moyenne arithmétique de ces nombres le nombre réel défini par : .

On appelle moyenne géométrique le nombre réel

défini par :

.
On appelle moyenne harmonique le nombre réel

défini par :

a) En appliquant l'inégalité montrée à la question II) 1) c) aux réels , montrer que .
b) Dans quel cas a-t-on ?
c) Démontrer que pour tout triplet de réels, on a :
.
a) En appliquant l'inégalité vue en III 1) a) aux réels , montrer que .
b) Dans quels cas a-t-on ?
c) Déduire des questions précédentes que .

En déduire que, pour tous nombres réels strictement positifs

, on a :

IV) Applications.

Déduire de l'inégalité .
a) Montrer que pour tout entier .
b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul n , on a : .
c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul , on a : .
a) En déduire la limite de ! quand tend vers l'infini.
b) Montrer que la suite de terme général est bornée et en donner un encadrement à l'aide des questions précédentes.
a) Démontrer que la suite de terme général ! est croissante (on pourra considérer la suite de terme général .
b) Quelle est la nature de la série de terme général ?
V) Détermination d'un équivalent de ! .
a) k est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Déterminer un encadrement de par deux intégrales de la fonction ln.
b) En déduire: .
c) En déduire un équivalent de ! quand tend vers l'infini.
Déterminer la nature des séries de termes généraux et .