Les calculatrices sont autorisées.
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

(resp.

) est l'anneau des matrices carrées

à coefficients dans

(resp. dans

). On note

la matrice identité, et

la matrice dite de Frobenius.
L'objet de ce problème est d'étudier le sous-anneau de

engendré par

, et d'en donner quelques applications. Les parties II et III sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I: Dans toute cette partie, on travaille dans

Soit le polynôme caractéristique de . Donner et en déduire que est diagonalisable sur C. On posera .
On note :

a/ Montrer que

est un sous-espace vectoriel de

, dont on donnera une base et la dimension.
b/ Montrer que le produit de deux éléments de

est commutatif et reste dans

.
3. Montrer que tous les éléments de

sont diagonalisables dans une même base.
4. Déterminer alors une expression factorisée du déterminant des matrices

en fonction de

, puis donner une condition d'inversibilité de ces matrices.
5. Soit

inversible. On établit dans cette question que

. Pour cela, on considère l'application

a/ Vérifier que

est bien un endomorphisme de A .
b/ Montrer que c'est un isomorphisme puis que

.
c/ Proposer une méthode pour vérifier cette conclusion (

) en utilisant l'outil calcul formel.
Partie II: Soit

un espace affine euclidien réel de dimension 3, d'espace vectoriel associé

. On rapporte

(resp.

) à un repère orthonormé direct (

), (resp. la base orthonormée
directe (

)). On note classiquement

(resp.

) le produit scalaire (resp. vectoriel) de deux vecteurs

, et

la norme euclidienne d'un vecteur

.
On considère l'ensemble

des points

défini par :

ù é

On étudie quelques propriétés de

dans cette partie.

Ecrire une équation cartésienne de dans le repère ( ). On vérifiera que cette équation peut se factoriser en :
, où est une quantité à expliciter. En déduire que :

avec

.
On obtient ainsi une caractérisation géométrique de

.
2. En déduire que

est une surface de révolution autour de l'axe

passant par

et dirigé par

. On pourra introduire le projeté orthogonal

sur

.
3.
a/ Donner une équation cartésienne de

dans un repère orthonormé attaché à l'axe de révolution et d'origine

. On posera

et on choisira par conséquent deux vecteurs

(qu'il n'est pas utile d'expliciter). On pourra utiliser la caractérisation géométrique de

donnée en 1.
b/ En déduire la nature des méridiennes de

, c'est-à-dire des courbes intersection de

avec un plan contenant l'axe. En dessiner une, puis représenter

dans l'espace.
4. Pour

, on définit le point

par :

a/ En calculant

, montrer que

. On a ainsi muni

d'une loi interne *.
b/ Soit

. On pose

. Justifier que

existe et peut se décomposer en :

avec

, et que

. Déterminer

. c/ Montrer alors que (

) est un groupe commutatif.
5. Soient P le plan d'équation cartésienne

.
a/ Reconnaître C et en donner les éléments caractéristiques.
b/ Montrer que C est stable par la loi *, puis que c'est un sous-groupe de (

).
Partie III : Dans cette partie, on se place toujours dans l'espace affine euclidien réel

rapporté à un repère orthonormé direct (

Soient les points

. Pour tout point

, on note indifféremment

la quantité :

On souhaite minimiser cette quantité.

Calculer . Vérifier que pour tout tel que . En déduire que la fonction admet un minimum.
Montrer que n'atteint son minimum en aucun des points . Pour l'étude en , on pourra examiner le comportement de au voisinage de O , le long de l'axe passant par et dirigé par ; et donc définir pour l'occasion la quantité .
Les questions suivantes précisent en quel(s) point(s) est minimale.
Soit l'application affine de fixant et transformant en en et en . On note son application linéaire associée. Justifier que est bien définie, que la matrice de relativement à la base est , et montrer que est une isométrie vectorielle. Quelle est la nature de ? On précisera ses éléments caractéristiques.
Pour tout , on pose . Montrer que .
Soit un point en lequel est minimale. On montre dans cette question que est sur la droite . Pour cela, on procède par l'absurde, en supposant que n'est pas sur cette droite.
a/ Soit . Pourquoi les vecteurs et ne peuvent-ils pas être colinéaires ?
b/ Soit et soit l'isobarycentre de et .
Montrer que .
c/ Déduire du 4 que , et du 5.a. que cette inégalité est en fait stricte. Conclure.
On sait désormais qu'on doit rechercher le minimum sur l'axe . Il s'agit donc de minimiser .
a/ Montrer que pour tout .
b/ Etudier le sens de variation de la fonction sur .
c/ Conclure que atteint une seule fois son minimum, au point , et que ce minimum vaut .