CCINP Mathématiques 2 PSI 2011

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des entiers naturels et par l'ensemble privé de 0 .

Dans tout le problème est un entier de . On note l'ensemble des entiers tels que . Dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, on note l'espace vectoriel réel des matrices carrées à lignes, l'ensemble des matrices symétriques de et l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à lignes. désigne le groupe des matrices orthogonales de .

On rappelle que toute matrice de est semblable à une matrice diagonale de , avec une matrice de passage orthogonale.

On note diag la matrice diagonale de qui admet pour coefficients diagonaux les réels dans cet ordre. L'écriture signifie que est le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice . On note la matrice transposée de la matrice et la trace de la matrice carrée .

Dans tout le problème, on considère l'espace euclidien rapporté à une base orthonormale . Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté et désigne la norme du vecteur . Soient et les matrices de des composantes de et dans , le produit appartient à et son unique coefficient est . On écrira qui est le produit scalaire canonique des matrices et de .

Dans le problème, on définit les ensembles (respectivement ) des matrices symétriques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) ainsi que les endomorphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.

Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d'une partie de liée au signe des valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint.

Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles et et on démontre différentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace.

Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les endomorphismes autoadjoints associés aux matrices de . Les parties III et IV sont indépendantes l'une de l'autre.

L'espace euclidien est rapporté à une base orthonormale . Soit un endomorphisme autoadjoint de . On considère l'ensemble .
I.1. Dans cette question, on suppose . On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal où est un point du plan. À tout vecteur de , on associe le point du plan de coordonnées ( ) dans le repère . On note l'ensemble des points du plan ainsi associés aux vecteurs de . Soit la matrice de l'endomorphisme relativement à la base .
I.1.1. On suppose que . Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice . Pour dans , calculer le produit scalaire . Montrer que l'ensemble est une ellipse dont on donnera une équation réduite. Tracer cette ellipse dans le plan euclidien muni du repère .
I.1.2. On suppose que . Déterminer les valeurs propres de . Déterminer l'ensemble et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère .
I.2. On suppose entier quelconque de . On note les valeurs propres réelles (distinctes ou confondues) de , chaque valeur propre figurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que est une partie compacte de si et seulement si tous les sont strictement positifs. On ordonne les dans l'ordre croissant, , et on considère une base orthonormale de formée de vecteurs propres de avec, pour tout .
I.2.1. On suppose . Pour , calculer . Montrer que l'ensemble n'est pas vide. Montrer que est une partie bornée de . Montrer que l'application de dans est continue. En déduire que est une partie compacte de .
I.2.2. On suppose que est une partie compacte non vide de .
I.2.2.1. Montrer que l'inégalité est impossible.
I.2.2.2. On suppose et et, pour tout , on considère le vecteur .
Montrer que . Calculer et déterminer sa limite lorsque tend vers . En déduire une contradiction avec l'hypothèse compacte.

Dans la suite du problème, on note (respectivement ) l'ensemble des matrices de qui vérifient: pour tout non nul de (respectivement ). Pour , soit l'endomorphisme autoadjoint de et soit le vecteur de de matrices et relativement à la base . On a donc .

Soit . On note les valeurs propres réelles de comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. Soit une base orthonormale de formée de vecteurs propres de avec : pour tout .
II.1. On veut montrer que si et seulement si pour tout , on a .
II.1.1. On suppose que . Montrer que pour tout , on a .
II.1.2. On suppose que pour tout on a . Montrer que .

On montre de même, et on admettra, qu'une matrice appartient à si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
II.1.3. On suppose que et donc que pour tout . Montrer que est inversible et que son inverse .
II.2. On suppose de plus que .
II.2.1. Soient et , calculer .

On suppose que vérifie . On note la base canonique de où est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne est égal à 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Soient et avec tels que . Montrer que pour tout , on a puis . En déduire que .
II.2.2. Soit telle que . Déterminer une matrice telle que . Montrer que est unique.

On notera l'unique matrice de telle que .
II.3. Une détermination de . On suppose que et que sont les valeurs propres de . On note les valeurs propres distinctes de . Pour , on définit les polynômes d'interpolation de Lagrange aux points par:

II.3.1. Pour , calculer en distinguant les cas et (on rappelle que les définis au début de la partie II, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de avec : pour tout .
II.3.2. Soit le polynôme de degré inférieur ou égal à , à coefficients réels tel que : pour tout . Exprimer comme une combinaison linéaire des polynômes . Calculer et en déduire que . Montrer que .
II.3.3. En application des questions précédentes, on prend . Montrer que . Exprimer comme une combinaison linéaire des matrices et .

III.1. Soit .
III.1.1. On considère la matrice avec : pour tout . Soit . Montrer que .
III.1.2. En déduire que pour tout , on a : .
III.2. Réciproque de la propriété III.1. Soit telle que pour tout , on a . On veut montrer que .
III.2.1. Un lemme technique. Soient des réels. Montrer qu'il existe un réel indépendant de , tel que .
En déduire que l'inégalité «pour tout entraîne .
III.2.2. On considère l'espace euclidien rapporté à la base orthonormale . Pour et entiers tels que , on note le plan vectoriel de engendré par les vecteurs et . Soit l'isométrie de telle que induit sur le plan , orienté par la base ( ), la rotation d'angle et telle que induit l'identité sur l'orthogonal de . Écrire la matrice de relativement à la base . Calculer . En déduire que .
III.2.3. D'après III.2.2, la matrice est symétrique. On note l'endomorphisme de de matrice relativement à la base orthonormale . On considère une base orthonormale de formée de vecteurs propres de . Pour , on notera . On suppose qu'une valeur propre de est strictement négative et on ordonne la base pour que . Soit l'isométrie de définie sur la base par et pour , . En notant la matrice de relativement à la base , montrer que l'inégalité conduit à une impossibilité et en déduire que .

Soit et soit telles que . On note et les automorphismes de de matrices et relativement à la base orthonormale . Soient et les applications réciproques de et de . On note les valeurs propres de .
IV.1. Soit . Montrer l'inégalité (1) :

À quelle condition sur a-t-on égalité ?
IV.2. On considère le polynôme défini sur par :

Pour chaque , déterminer le signe de .
Soit l'endomorphisme de défini par . Soit , tel que . Calculer et montrer que est vecteur propre de . En déduire que la matrice de relativement à la base vérifie .
IV.3. Soit un vecteur non nul de . On considère le polynôme défini sur par :

Déterminer le signe de et celui de . En déduire l'inégalité (2) :
(2) .
IV.4. On suppose que . Soient et des vecteurs de norme 1 tels que et . Soit . Calculer les produits scalaires et . Montrer que le vecteur vérifie l'égalité dans l'inégalité (2).

Fin de l'énoncé