EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 5 pages.
Notations
On désigne par l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des nombres entiers naturels et par l'ensemble privé de 0 .
Pour dans , on note l'ensemble des entiers tels que .
Pour dans , on note l'espace vectoriel réel des matrices carrées à lignes et à coefficients dans . Etant donné une matrice de , on note le déterminant de la matrice . La notation signifie que est le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice . On note la matrice diagonale de dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 .

On considère des endomorphismes autoadjoints dont la matrice, relativement à une base orthonormale, est à coefficients tous positifs ou nuls. Avec une hypothèse supplémentaire sur les coefficients de la matrice, on fait établir des propriétés sur les valeurs propres et sur les vecteurs propres de ces endomorphismes.
La première partie est calculatoire et conduit à traiter un exemple des résultats généraux du problème.
Dans la deuxième partie, on fait établir des propriétés des endomorphismes autoadjoints particuliers que l'on étudie. La question II. 1 porte sur l'étude de la norme subordonnée d'applications linéaires; les questions suivantes de la partie II sont indépendantes des résultats de la question II.1.
Les deux parties sont indépendantes.
Dans tout le problème on désigne par un entier de .

Les résultats servant à résoudre une question et provenant d'une question précédente, devront être justifiés par un renvoi à la question dont ils sont déduits.

I.1. Soit un réel. On considère la suite réelle définie par :
,
,
et pour tout .
I.1.1. Déterminer . Pour tout dans expliciter en fonction de et de .
I.1.2. Soit dans , à quelle condition sur a-t-on ?

Pour réel, on note la matrice de telle que :
(1) pour tout les coefficients de la diagonale sont ;
(2) pour tout tel que ;
(3) dans tous les autres cas .

On note .
I.2. Quelques valeurs de .
I.2.1. Calculer .
I.2.2. Pour , établir une relation entre et . En déduire que est un polynôme en , déterminer son degré ainsi que le coefficient du terme de plus haut degré.
I.3. On suppose et on note avec .
I.3.1. Montrer que .
I.3.2. Déterminer les valeurs de pour lesquelles .
I.4. On note le polynôme caractéristique de la matrice .
I.4.1. Exprimer en fonction de et de .
I.4.2. Déduire de I.3.2. que la matrice possède valeurs propres distinctes et donner ces valeurs propres. Montrer que la plus grande valeur propre est .
I.4.3. En utilisant I.1.2, déterminer un vecteur propre de la matrice associé à la valeur propre , dont toutes les composantes sont strictement positives.

On considère l'espace euclidien rapporté à une base orthonormale . Étant donné deux vecteurs et de , on note ( ) leur produit scalaire et la norme du vecteur . Pour tout sous-espace vectoriel de , on note l'orthogonal de ; on admettra la propriété .
On note . Pour tout endomorphisme de , on note l'ensemble des valeurs propres, réelles ou complexes, de , c'est-à-dire le spectre de .
II.1. Pour tout endomorphisme de , on note la norme subordonnée à la norme euclidienne de de l'endomorphisme .
II.1.1. Soit un automorphisme orthogonal de . Calculer .
II.1.2. Soit l'endomorphisme de représenté dans la base par la matrice diagonale , dont les coefficients de la diagonale sont les . Montrer que .
II.1.3. En déduire que lorsque est un endomorphisme autoadjoint de on a .

Les questions suivantes de la partie II sont indépendantes de la question II.1.
Dans la suite du problème, on note un endomorphisme autoadjoint de l'espace euclidien .
II.2. Propriété de la plus grande valeur propre de . On note l'application de dans définie par : pour tout vecteur de .
II.2.1. Montrer que est une application continue de dans . En déduire que la restriction de l'application à l'ensemble admet un maximum.

On note un vecteur de tel que . Dans la suite de la question II.2, le vecteur est fixé.
II.2.2. Soit un vecteur de orthogonal à et soit un réel.

Déterminer un scalaire tel que appartienne à .
En comparant et , montrer que .
En déduire que le vecteur est un vecteur propre de .
On note la valeur propre de associée au vecteur propre .
II.2.3. Soit une valeur propre quelconque de et soit un vecteur de qui est un vecteur propre de pour la valeur propre .
Comparer et .
Déduire des résultats précédents que .
On a donc montré que et que si un vecteur de vérifie , alors .

Dans la suite du problème, on suppose que la matrice de l'endomorphisme autoadjoint , relativement à la base orthonormale , vérifie les deux conditions suivantes:
(1) pour tout , on a ;
(2) il n'existe pas de partition de l'ensemble vérifiant avec et non vides et telle que pour tout , on ait .

Étant donné un vecteur , on écrit (respectivement ) si pour tout , on a respectivement . On note le vecteur .

Dans la suite du problème, on note .
II.3. Signe de .
II.3.1. Soit un vecteur de . Exprimer en fonction des scalaires et . En déduire l'inégalité .
II.3.2. Soit un vecteur de tel que . Montrer que . En déduire que .
II.4. Soit une valeur propre quelconque de et soit un vecteur de tel que . Montrer que .

On a donc .
II.5. Soit un vecteur de tel que . Montrer que , puis montrer que (pour montrer que , on pourra raisonner par l'absurde et se souvenir que la matrice de l'endomorphisme vérifie la condition (2)).
II.6. Soient et deux vecteurs non nuls tels que et . Justifier que . En considérant le vecteur , montrer que le sous-espace propre de associé à la valeur propre est de dimension 1 .
II.7. Soit un vecteur propre de associé à une valeur propre . On suppose . Montrer que . Montrer que .
II.8. On suppose . Soit la matrice telle que
(1) ;
(2) pour tout tel que ;
(3) dans tous les autres cas .

Déduire des questions précédentes la plus grande valeur propre de la matrice .