CCINP Mathématiques 2 PSI 2008

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 7 pages.

On désigne par l'ensemble des nombres réels, par l'ensemble des nombres entiers naturels et par l'ensemble privé de 0 .
Pour entier naturel non nul, on note l'espace vectoriel réel des matrices carrées à lignes et à coefficients dans .
Pour dans , on note le déterminant de la matrice .
Étant donné un espace vectoriel , on note id l'endomorphisme identité défini par :
Pour tout de , id .
On note l'image d'un endomorphisme de et ker son noyau.
Pour , on note l'endomorphisme de défini par id si et par sinon. Étant donné une base de , on note la matrice de l'endomorphisme relativement à la base .
Étant donné un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie, on note la dimension de . On désigne par Vect (respectivement Vect ) le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs et (respectivement engendré par le vecteur et les vecteurs de ).
Lorsque sera un espace vectoriel normé, on notera la norme d'un vecteur .
Lorsque sera un espace euclidien, on notera le produit scalaire des vecteurs et ; on note le groupe orthogonal de (c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes orthogonaux de désigne l'orthogonal du sous-espace vectoriel et désigne l'adjoint de l'endomorphisme .

Étant donné un endomorphisme d'un espace vectoriel , pour tout de et pour de , on définit . En prenant différentes hypothèses pour et pour , on étudie la limite de la suite de lorsque tend vers .
Dans la première partie, on étudie cette limite dans trois exemples. Dans la deuxième partie, on obtient la limite de la suite lorsque tend vers dans un cadre plus général ; cette limite est obtenue à l'aide d'une propriété d'algèbre linéaire que l'on fait établir dans trois contextes généraux différents.
Dans la troisième partie, cette propriété algébrique permet d'obtenir un résultat concernant une décomposition des automorphismes orthogonaux d'un espace euclidien.

La partie I permet d'illustrer les résultats établis dans la partie II. Elle doit être traitée sans utiliser les résultats de la partie II. Les exemples I.A, I.B, I.C sont indépendants les uns des autres.

Dans cette partie, est un espace euclidien de dimension 4, rapporté à une base orthonormale .
I.A Soit l'endomorphisme de défini par sa matrice .
I.A. 1 Réduction de l'endomorphisme .
I.A.1.1 Justifier l'affirmation : l'endomorphisme est diagonalisable. Calculer la matrice .
I.A.1.2 En déduire que est un automorphisme orthogonal de et que 1 et -1 sont ses valeurs propres.

On note et les sous-espaces propres de respectivement associés aux valeurs propres 1 et -1 . Il résulte des questions précédentes que et sont des sousespaces supplémentaires de .
I.A.1.3 Calculer la trace de . En déduire les dimensions de et de .
I.A. 2 On considère les trois vecteurs suivants de et .
I.A.2.1 Déterminer les vecteurs et . En déduire que est une base de . Déterminer une base orthonormale de .
I.A.2.2 Déterminer un vecteur non nul orthogonal aux trois vecteurs et . En déduire que forme une base orthogonale de .
I.A. 3 Pour tout de et tout de , on note .
I.A.3.1 Pour fixé, on note avec et . Soit , déterminer un réel tel que . En déduire, pour , un réel tel que .
I.A.3.2 Déduire de ce qui précède que la suite de a une limite lorsque tend vers . Exprimer cette limite en fonction de et de .
I.B Soit l'endomorphisme de défini par sa matrice Mat .
I.B. 1 Une propriété concernant les normes.
I.B.1.1 Pour tout vecteur de , calculer .

Prouver l'inégalité u .
I.B.1.2 En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur vérifie l'égalité u . Montrer que 1 est une valeur propre de et que le sousespace propre associé est de dimension 2.

I.B.2.1 Déterminer le polynôme caractéristique de .
I.B.2.2 Montrer que possède une autre valeur propre que l'on déterminera. Justifier que les deux sous-espaces propres et de associés aux valeurs propres 1 et sont supplémentaires dans .
I.B. 3 Pour tout de et tout de , on note .

Soit . On note avec et .
I.B.3.1 Pour , exprimer en fonction de et .
I.B.3.2 Pour tout , exprimer en fonction de et .

En déduire que la suite de a une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite.
I.C Soit l'endomorphisme de défini par sa matrice

I.C. 1 Montrer que est une matrice orthogonale.
I.C. 2 On considère les deux vecteurs suivants de et .
I.C.2.1 On note Vect . Déterminer les vecteurs et . En déduire que est un sous-espace vectoriel de de dimension 2 , stable par .
I.C.2.2 Soit l'orthogonal du sous-espace . Montrer que est stable par . Montrer que est une base de .

La famille de vecteurs est donc une base de .
I.C. 3 On note Mat .
I.C.3.1 Justifier que la matrice est orthogonale. Expliciter .
I.C.3.2 Soit . Exprimer la matrice en fonction de . On oriente le plan par la base (respectivement on oriente le plan par la base ). Préciser la nature géométrique de l'endomorphisme de (respectivement de ) induit par .
I.C.3.3 Pour , exprimer en fonction de et la matrice de relativement à la base .
I.C. 4 Soient et . On note . Expliciter selon les valeurs de . En déduire les réels pour lesquels la suite complexe est bornée.
I.C. 5 Pour tout de et tout , on note .
I.C.5.1 Justifier que le sous-espace est stable par .
I.C.5.2 Soit . On note .
I.C.5.2.1 Déterminer la matrice telle que .

En déduire la matrice telle que .
On exprimera en fonction de et et en fonction de et .
I.C.5.2.2 Montrer que la suite de a une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite.
I.C.5.3 Soit . En écrivant avec et , montrer que la suite de a une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite.

Dans cette partie, est un espace vectoriel réel. Étant donné un endomorphisme de , pour tout de et tout , on note .
II.A Dans cette partie II.A, on suppose que est un espace euclidien et que .
II.A. 1 Montrer que les sous-espaces vectoriels ker et sont orthogonaux. En déduire qu'ils sont supplémentaires dans .

Soit . D'après le résultat précédent, il existe ker et tels que .
II.A. 2 Pour , exprimer en fonction de et . En déduire l'expression de en fonction de et .
II.A. 3 Montrer que la suite de a une limite que l'on déterminera lorsque tend vers .

Dans la suite de la partie II, étant donné un espace vectoriel normé , on notera l'ensemble des endomorphismes de qui vérifient : pour tout de .
II.B Dans cette partie II.B, on suppose que est un espace euclidien. Soit . On note l'adjoint de .
II.B. 1 Montrer que appartient à .
II.B. 2 Montrer que si vérifie , alors . Montrer l'égalité ker .
II.B. 3 En déduire que ker -id et -id sont des sous-espaces vectoriels de supplémentaires dans (on pourra utiliser l'égalité : pour l'endomorphisme de , ).
II.C Dans cette partie II.C, on suppose que est un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit . Pour tout de et tout , on reprend la notation définie au début de la partie II.
II.C. 1 On suppose que appartient à l'intersection ker . Soit tel que . Pour , exprimer en fonction de et . En déduire que ker et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans .
II.C. 2 Soit . Montrer que la suite de a une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite.

Dans cette partie, est un espace euclidien et . Soit un vecteur non nul de . Pour tout , on note .
III. 1 Calculer . Pour orthogonal à , calculer . Montrer que est un automorphisme orthogonal de .
est donc la réflexion par rapport à l'hyperplan Vect .
III. 2 On note ker et on suppose que est différent de . Soit un vecteur fixé de tel que . Dans la suite, on prend .
III.2.1 Montrer que est orthogonal à (on pourra utiliser le résultat de II.A.1).
III.2.2 Calculer et . En déduire et .
III.2.3 Montrer l'égalité Vect .
III.2.4 En déduire que peut se décomposer en la composée de réflexions et exprimer en fonction de et de .