Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite.

On désigne par l'ensemble des entiers naturels, par l'ensemble privé de 0 , par l'ensemble des entiers relatifs et par l'ensemble des nombres réels.

Pour , on note l'ensemble des entiers naturels tels que .

On note l'anneau des matrices carrées d'ordre à coefficients dans . Pour , on note où est l'élément de la ligne et de la colonne . Par exemple sera noté .

Pour , on note le déterminant de et la comatrice de .
désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour désigne le sous-espace de des polynômes de degré inférieur ou égal à .

Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles; seule la suite étudiée dans la partie I apparaît dans une question de chacune de ces parties.

On définit la suite double de nombres réels par :
(i)
(ii) pour tout
(iii) pour tout
(iv) pour tout .

La considération d'un tableau, dans lequel les sont disposés avec indice de ligne et indice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine.
I.1. Pour , calculer .
I.2 Calculer et .
I.3. Pour , exprimer en fonction de . En déduire la valeur de .
I.4. Pour , on considère la propriété : " pour tout , on a ".

Montrer que pour tout , la propriété est vraie.
I.5. Pour , calculer .
I.6. Pour , calculer .
I.7. Pour , on désigne par la matrice carrée d'ordre (c'est-à-dire à lignes et à colonnes), dont le terme de la ligne et de la colonne est , pour tout .
Expliciter les matrices et .

II.1. Soit .
II.1.1. Montrer que .
II.1.2. Montrer que .
II.1.3. On rappelle qu'une matrice est inversible dans si et seulement si existe et appartient à . Montrer que est inversible dans si et seulement si .
II.2. On définit la suite de polynômes de par : et pour , .
II.2.1. Montrer que ( ) est une base de l'espace vectoriel ; on notera (B) cette base.

On note la base canonique de .
On note la matrice de passage de la base à la base et la matrice de passage de la base à la base .
II.2.2. On prend , expliciter les matrices et .
II.2.3. Montrer que est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans .
II.2.4. Calculer .
II.2.5 Montrer que est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans .

On note . Pour tout , on a donc .
II.2.6. En donnant à des valeurs particulières, déterminer les coefficients pour .
II.2.7. Montrer que où est la matrice définie au I.7.

On note l'espace vectoriel réel des applications de classe définies sur et à valeurs dans . On définit l'application de dans par:

Pour , on note ; ainsi (par convention : ).
III.1. Vérifier que est un endomorphisme de . Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de .
III.2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de .
III.3. Pour , expliciter . Déterminer le noyau de et en donner une base.
III.4. Soit . Montrer qu'il existe des entiers tels que, pour tout et tout , on ait la relation : pour tout dans , où est la dérivée p-ième de .
On admet que cette décomposition est unique.
III.5. On convient que et que, pour et et si .
Montrer que pour tout , on a , où les sont les termes définis dans la partie I.

IV. 1 Soit la fonction définie sur par , où exp est la fonction exponentielle.

IV1.1. Déterminer le développement limité de à l'ordre 4 en .
IV1.2. Pour variant de 1 à 4 , en déduire la valeur de la dérivée n-ième de en 0 .

Soit un ensemble de cardinal . On appelle partition de , tout ensemble de parties non vides de , deux à deux disjointes, dont la réunion est . Chaque partie de la partition s'appelle une classe.
IV.2. Pour tout entier , on note le nombre de partitions de en classes. Par convention, on note et, pour tout et .
IV.2.1. Pour , calculer .
IV.2.2. Calculer et pour .
IV.2.3. On suppose et . Soit .

En distinguant parmi les partitions de en classes, celles pour lesquelles le singleton est une classe de la partition, justifier l'égalité .
IV.2.4. En déduire que pour tout , on a , les étant les termes définis dans la partie .
IV.3. On note le nombre de partitions de . Par convention .
IV.3.1. Pour variant de 1 à 4, calculer et comparer à où est la fonction définie en IV.1.
IV.3.2. Exprimer à l'aide des . Dans la suite, on admettra la formule
(1) où les sont les coefficients du binôme.
IV.3.3 Montrer que pour tout on a
IV. 4 Pour , on note lorsque la série converge.
IV.4.1. Déduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à 1 .
IV.4.2. Montrer à l'aide de (1) que pour , on a (on pourra développer en série entière et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières).
IV.4.3. En déduire .
IV.4.4. Montrer que pour tout , on a .

Fin de l'énoncé.