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CCINP Mathématiques 2 PSI 2003

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre généraleAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsIntégrales généralisées
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Banque
CCINP
Année
2003
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2003PSI MathsMaths 2003
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHE MATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
On désigne par l'ensemble des entiers naturels, par l'ensemble privé de 0 et par l'ensemble des nombres réels.
Etant donné un entier naturel , on note l'ensemble des entiers naturels tels que .
On note l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour , on note le sous espace de des polynômes de degré inférieur ou égal à . On identifiera le polynôme avec la fonction polynôme associée.
On note C l'espace des fonctions continues définies sur l'intervalle et à valeurs dans , on note l'espace des restrictions à des polynômes de et on note l'espace des restrictions à des polynômes de . Par abus, on appellera polynôme une fonction de R.
Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d'une famille d'intégrales.
Dans la partie I, on étudie une famille de polynômes. La partie II utilise une structure d'espace préhilbertien réel de l'espace C , pour obtenir une formule de calcul exacte de certaines intégrales. La partie III conduit à la méthode de calcul approché annoncée.
Dans tout le problème, désigne un entier naturel. Pour tout entier , on définit la fonction par: pour tout .

PARTIE I

  1. Simplifier les expressions de et constater que ces fonctions ont des expressions polynomiales, que l'on explicitera.
  2. Tracer, sur un même dessin, les graphes de et . Préciser les racines et les extremums de chaque fonction.
Pour et , on note et .
3. Pour , déterminer les racines de la fonction . Montrer que les racines de sont deux à deux opposées.
4. On suppose l'entier . Soit .
4.1 Calculer la somme .
4.2 Montrer que .
Pour , le changement de variable bijectif , permet d'écrire avec .
5. Pour , exprimer en fonction de et de .
6. En déduire que pour tout , la fonction est la restriction à l'intervalle d'un polynôme de . Préciser le degré de et le coefficient de son terme de plus haut degré.
7. Montrer que pour tout entier , le polynôme n'a pas de racine complexe non réelle.

PARTIE II

  1. Soit une fonction de C. Montrer que la fonction est intégrable sur .
  2. Pour , on note .
    2.1 Calculer et .
    2.2 Pour , donner une relation entre et (on pourra, entre autre méthode, utiliser le changement de variable ).
    2.3 En déduire les valeurs de et . Quelle est la valeur de pour ?
  3. Définition d'une structure préhilbertienne réelle sur .
    3.1 Montrer que l'application de dans définie par définit un produit scalaire sur .
    3.2 Montrer que la famille de fonction , pour , est une base orthogonale de l'espace vectoriel .
    Calculer la norme de chaque fonction .
    3.3 Déduire de ce qui précède que, pour tout et tout , on a .
  4. On veut monter qu'il existe trois réels uniques, tels que pour tout polynôme , on a
    (1) .
    4.1 On suppose que l'égalité (1) est satisfaite par tout . En prenant successivement les polynômes définies par , déterminer les réels .
    4.2 Montrer que le triplet trouvé convient pour les polynômes définies par puis .
    En déduire que l'égalité (1) est vérifiée pour tout polynôme .
  5. calcul d'une intégrale.
    5.1 Montrer que la fonction est intégrable sur .
    5.2 Calculer l'intégrale , à l'aide du changement de variable et de la formule (1).

PARTIE III

Soit . Etant donné des réels et une fonction , on note où .
On se propose de montrer qu'il existe des réels uniques, tels que pour tout polynôme de , on ait :
  1. On suppose que l'égalité (2) est satisfaite pour tout . En prenant successivement pour polynômes les monômes , montrer que les réels sont les solutions d'un système de équations linéaires à inconnues, dont le déterminant est non nul (on ne demande pas le calcul des intégrales qui interviennent dans le second membre du système).
  2. On suppose qu'il existe des réels tels que, pour tout , la relation (2) soit vérifiée par les fonctions .
    2.1 Montrer qu'alors la relation (2) est vérifiée pour tout polynôme .
    2.2 En utilisant ce qui précède, en particulier I. 4 et II.3, montrer que les sont tous égaux et calculer leur valeur.
    2.3 On suppose que les ont la valeur trouvée en 2.2. Soit un polynôme de . En écrivant la division euclidienne de par (sur ), montrer que P vérifie (2).
    Etant donné une fonction , on note et on note .
  3. Soit .
    3.1 Soit . Montrer qu'il existe un entier , qui dépend de , tel que pour tout , on a .
    3.2 En déduire .
  4. Pour , on prend . Soit un entier de .
    4.1 Montrer que la série converge et que .
    4.2 Déterminer un polynôme de degré tel que .
    4.3 Justifier que fournit une valeur approchée de l'intégrale à près.
    4.4 Calculer cette valeur approchée.
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