CCINP Mathématiques 2 PSI 2002

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par l'ensemble des entiers naturels, par l'ensemble privé de 0 , par l'ensemble des entiers relatifs, par l'ensemble des nombres rationnels et par l'ensemble des nombres réels. Etant donné un entier naturel , on note l'ensemble des entiers naturels tels que .

Cette épreuve comporte trois parties.
Dans la première partie, on étudie les solutions développables en série entière d'une équation différentielle.
Dans la deuxième partie, qui est indépendante de la première partie, on étudie des suites numériques définies par des relations de récurrence.
La troisième partie utilise les résultats des parties précédentes pour obtenir un encadrement de par des nombres rationnels (th désignant la fonction tangente hyperbolique).

Pour , on considère les équations différentielles , où désigne une variable réelle et une fonction deux fois dérivable.
On remarque que ( ) et ( ) sont les mêmes équations.
I.1. On prend et on étudie l'équation différentielle ( ).
I.1.1. Déterminer les solutions de ( ) sur chacun des intervalles .
I.1.2. L'équation ( ) a-t-elle des solutions sur ?
I.2. On prend et on suppose que l'équation différentielle a une solution développable en série entière , de rayon de convergence .
I.2.1. Calculer et .
I.2.2. Pour , donner une relation entre et .
I.2.3. Calculer les coefficients pour .
I.2.4. Pour , calculer les coefficients .
I.2.5. Peut-on calculer ? On justifiera la réponse.
I.2.6. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.

Pour et dans , on note et on considère les fonctions définies pour réel lorsque la série converge.
I.3.
I.3.1. Exprimer et à l'aide des fonctions usuelles.
I.3.2. Montrer que les fonctions sont indéfiniment dérivables sur .

I.4.1. Calculer le quotient .
I.4.2. En déduire l'expression de en fonction de et de .
I.4.3. Pour , exprimer en fonction de .
I.4.4. On admet que pour tout , la fonction est solution sur de l'équation . En reprenant la notation de I.2., on écrit . Quelle est la valeur de ?
I.5. Dans cette question on suppose .
I.5.1. Montrer que pour tout , on a .

Pour et , on définit . Dans la suite de la question, on pourra utiliser I.4.3.
I.5.2. On suppose , montrer l'inégalité .
I.5.3. Montrer la relation .

On note l'ensemble des suites vérifiant : et pour tout . Etant donné une suite de , on définit les suites et par :

puis, pour , par :

II.1. Montrer que pour tout on a .
II.2. Relations entre les et les .
II.2.1. Pour , calculer .
II.2.2. Pour , calculer .

Pour , on définit .
II.3. Etude de la suite .
II.3.1. Pour , calculer et pour , calculer en fonction des et des .
II.3.2. En déduire que les suites et sont adjacentes.
II.3.3. On note la limite de la suite . On se propose de démontrer par l'absurde que est un nombre irrationnel.
En supposant que , avec , et en utilisant l'encadrement , déterminer un entier vérifiant . En déduire que n'est pas rationnel.

Soit un entier naturel non nul fixé; on considère la fonction définie pour tout réel par .
II.4. Etude de la fonction .
II.4.1. Tracer le graphe de la fonction sur l'intervalle .
II.4.2. On note et , avec , les deux racines de . Déterminer le signe et la partie entière de chacune des racines.
II.5. Pour tout , on prend et on considère la suite .
II.5.1. Pour , calculer et .
II.5.2 Pour , exprimer en fonction des pour . En déduire une expression de en fonction des pour .
II.5.3. Exprimer en fonction de et .
II.5.4. Déduire des questions précédentes une expression de en fonction de et .
II.5.5. En déduire la valeur de la limite de la suite en fonction de et .
II.5.6. On prend . Calculer pour . En déduire deux nombres rationnels qui encadrent à près.

Etant donné une suite de nombres réels , telle que pour tout on ait , on définit la suite dont le terme général d'indice est noté par :

En particulier .
III.1. Soit un élément de . On lui associe les suites et définies dans II.
III.1.1. Ecrire et sous forme de fractions en fonction des .
III.1.2. On suppose que, pour un entier fixé, on a .

Quel nombre rationnel obtient-on en remplaçant dans , le terme par ?
III.1.3. Montrer que pour tout on a .
III.1.4. Pour , montrer .

Dans II.3., on a montré que la suite converge vers un nombre irrationnel . On note et on note l'application de dans l'ensemble des nombres irrationnels définie par . On admet que est surjective.
III.2. Soit un nombre irrationnel et soit une suite telle que .
III.2.1 Comparer et . En déduire que est la partie entière de .
III.2.2. Pour , on note . Montrer l'égalité . Donner une relation entre et .
III.2.3. Décrire un algorithme qui donne la suite . En déduire que est bijective.
III.2.4. On prend et on note la suite vérifiant . Calculer et exprimer et en fonction de . Déterminer la suite .
III.3. Soit . On note th la fonction tangente hyperbolique.
III.3.1. Déduire des parties précédentes qu'il existe une suite telle que et expliciter les termes de cette suite (on pourra utiliser les résultats du ).
III.3.2. On choisit . Pour donner le tableau des entiers . En déduire deux nombres rationnels qui donnent un encadrement de à près.