CCINP Mathématiques 2 PSI 2001

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire 99-186 du 16.11.99-BOEN du 25.11.99.

L'objet de ce problème est de définir un algorithme de calcul approché d'une intégrale, utilisant la méthode des trapèzes.
Dans la première partie, on étudie le procédé d'extrapolation de Richardson.
Dans une deuxième partie, on établit la formule d'Euler-Mac Laurin.
La troisième partie utilise les deux premières parties pour définir la méthode de Romberg, qui est une troisième méthode d'intégration basée sur l'accélération de la convergence à partir de la méthode des trapèzes.
La deuxième partie est indépendante de la première partie.
De nombreuses questions de ce problème sont simples ; le candidat s'attachera à les résoudre avec soin et complètement. On note l'ensemble des nombres réels, l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers naturels non nuls.
Étant donné un intervalle de , on note l'ensemble des fonctions définies sur à valeurs dans , indéfiniment dérivables.
Étant donné un entier et une fonction , on utilise la notation lorsque , qui signifie que le quotient est borné lorsque .
étant le terme général d'une suite qui ne s'annule pas et qui tend vers 0 lorsque , on note lorsque , le terme général d'une suite telle que le quotient est borné lorsque .

On désigne par une fonction définie sur à valeurs dans , et on suppose que admet un développement limité à tout ordre au voisinage de 0 .
On note son développement limité à l'ordre au voisinage de 0 , les coefficients étant des réels.

I-1.1. Étant donné un réel non nul et un entier , on suppose que est une fonction qui vérifie lorsque . Montrer que lorsque .

I-1.2. Pour , on suppose que lorsque . Déterminer la limite lorsque , du quotient .

I-2.1. Montrer que admet une limite lorsque et déterminer cette limite.
Soit un réel vérifiant . On définit la suite des fonction par :
pour réel, puis, pour réel et .
I-2.2. Montrer qu'il existe un réel , que l'on déterminera, tel que le développement limité de à l'ordre au voisinage de 0 soit .

I-2.3. En déduire qu'il existe un réel , que l'on ne demande pas de déterminer, tel que le développement limité de à l'ordre au voisinage de 0 soit .

I-2.4. Soit un réel non nul fixé. Montrer que la suite de terme général converge vers lorsque .
Dans la suite de la première partie, on suppose que pour tout fixé et fixé, on sait calculer les premiers termes de la suite.
Le procédé de Richardson consiste à extrapoler ces valeurs pour obtenir, grâce à un procédé d'accélération de convergence, la valeur de .

Pour , on note puis, pour entier vérifiant , on note .

I-3.1. Justifier l'égalité lorsque .
I-3.2. Déterminer un entier naturel , que l'on explicitera, tel que lorsque .
I-3.3. Pour , justifier l'égalité : .
I-3.4. Pour , justifier l'égalité : .
Dans la pratique, on range les valeurs pour dans un tableau triangulaire:

I-4. Déterminer la plus petite valeur et la plus grande valeur de pour .
Lorsque , de laquelle des valeurs du tableau peut-on attendre la meilleure approximation de (on pourra utiliser I-1.2 pour justifier la réponse) ?
On écrira cette valeur sous la forme lorsque et on précisera la valeur de l'entier .
On considère une fonction et on note son développement limité à l'ordre au voisinage de .

I-5.1. Exprimer les coefficients pour , en fonction de et de ses dérivées successives.
Pour , on note .
I-5.2. Montrer que la fonction est paire.
Montrer que se prolonge par continuité en 0 par une valeur que l'on déterminera.
On note la fonction prolongée en 0 par cette valeur.
I-5.3. Exprimer à l'aide des coefficients le développement limité de à l'ordre au voisinage de 0 .
Pour réel positif, on note .

I-6.1. On choisit et on considère la suite de valeurs .
Déterminer un réel et un réel tels que cette suite de valeurs soit .
On utilise les notations des questions précédentes avec puis , pour les valeurs et déterminées dans I-6.1.

I-6.2. Quelle est la limite de lorsque ? On exprimera à l'aide de la fonction et de .
Dans ce qui suit, on prend et .

I-7.1. Calculer les valeurs pour .
Donner le tableau des valeurs pour .
I-7.2. Quelle est la valeur exacte de ?
Parmi les valeurs trouvées, quelle est la meilleure approximation de ?

Pour , on définit la suite de polynômes par :
(i) Pour tout
(ii) Pour et et ,
et on note .

II-1.1. Déterminer les polynômes .
II-1.2. Pour , calculer et comparer à .
II-1.3. Montrer que pour , on a .

II-2.1. Pour et , on définit .
Montrer que la suite de polynômes vérifie les relations (i) et (ii). En déduire que .
II-2.2. Montrer que pour , on a .
Soit ; on note la dérivée d'ordre de la fonction .
II-3.1. Montrer l'égalité .
II-3.2. Pour , montrer l'égalité :

II-3.3. En déduire que pour on a l'égalité :

Pour , on note la partie entière de .
Pour , on définit la fonction par : pour .

II-4.1. Montrer que est une fonction périodique de période 1.
Montrer que est une fonction de classe par morceaux sur .
Dans la suite la fonction appartient à où avec .
Pour entier vérifiant , on définit les fonctions de dans par .
II-4.2. Montrer que les fonction appartiennent à et qu'elles vérifient les égalités :
pour et entier tel que .
II-4.3. En appliquant (1) aux fonction , en déduire la formule d'Euler-Mac Laurin sur :

Dans cette partie on note un intervalle de et une fonction de .

Étant donné et , on note :
si si , la valeur approchée de l'intégrale obtenue par la méthode des trapèzes pour le pas .
III-1. On suppose . En appliquant la formule (2) à la fonction définie sur , montrer la formule :

III-2. Montrer que la formule (3) peut s'écrire : (4)
où les désignent des nombres réels.

Pour , on définit .

III-3.1. Déterminer .
III-3.2. On prend et donc , et on calcule la suite de valeurs .
Déterminer un réel et un réel tels que cette suite de valeurs soit .
On utilise les notations de la première partie avec puis, et étant les valeurs trouvées en III-3.2. On note .

III-4.1. Exprimer et à l'aide de et de .
III-4.2. Pour , on définit , la somme étant étendue aux entiers tels que . Exprimer en fonction de et . Quel est l'intérêt de cette expression?

III-5. On choisit pour .
III-5.1. Montrer que .
III-5.2. Calculer les valeurs pour et les valeurs pour .
Indiquer dans quel ordre vous calculez ces sept valeurs.
III-5.3. Donner le tableau des valeurs pour .
De laquelle de ces valeurs peut-on attendre la meilleure approximation de ?
III-6. Que donne cette méthode lorsque est une fonction périodique de période ?