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CCINP Mathématiques 2 PC 2013
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
On s'intéresse ici à des suites et séries de fonctions en liaison avec des intégrales.
Dans la partie I, on calcule indépendamment deux intégrales particulières (les questions 1 et 2 pour l'une, la question 3 pour l'autre) qui interviennent dans les parties II et III. Les parties II et III sont indépendantes.
Dans la partie I, on calcule indépendamment deux intégrales particulières (les questions 1 et 2 pour l'une, la question 3 pour l'autre) qui interviennent dans les parties II et III. Les parties II et III sont indépendantes.
Partie I : calculs préliminaires
I-1.
I - 1.1.
Justifier l'existence de l'intégrale
I - 1.1.
Justifier l'existence de l'intégrale
I-1.2.
Pour tout
I-1.3.
Grâce à une intégration par parties, prouver que
I - 2 .
I - 2.1.
Justifier que l'application
I-2.2.
Montrer que, pour tout réel
Etablir ensuite que l'application
Etablir ensuite que l'application
I-2.3.
Justifier que les fonctions
Etablir alors que les fonctions
En déduire que :
Etablir alors que les fonctions
En déduire que :
I-2.4.
Pour tout réel
On pourra remarquer que
On pourra remarquer que
I - 2.5.
En déduire
I - 3.
I - 3.1.
Justifier que la fonction
I - 3.2.
Pour tout
I - 3.3.
Grâce à un développement en série de
Par ailleurs, on donne sans avoir à le justifier :
Par ailleurs, on donne sans avoir à le justifier :
Partie II : étude de quelques suites d'intégrales
II - 1.
Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée.
II -
II - 2.1. On considère ici une application continue
Pour tout
II - 2.2. On suppose ici de plus que
Déterminer
Pour tout
II - 2.2. On suppose ici de plus que
Déterminer
II-2.3. Application 1.
Déterminer un équivalent quand
II - 3. On considère maintenant que
II - 3.1.
Soit
Grâce à un changement de variable approprié, justifier l'existence de
Grâce à un changement de variable approprié, justifier l'existence de
II - 3.2.
Déterminer
II - 4.
II - 4.1. Pour tout
Grâce à un changement de variable et une intégration par parties, exprimer
Grâce à un changement de variable et une intégration par parties, exprimer
II - 4.2.
En déduire que
II - 4.3. Application 2.
Déterminer
Partie III : étude de séries de fonctions
III - 1. Un premier exemple.
III - 1.1.
Pour tout
III - 1.2.
Déterminer
III - 2. Un deuxième exemple.
Dans cette question, pour tout
III - 2. Un deuxième exemple.
Dans cette question, pour tout
III - 2.1.
Soit
III-2.2.
Montrer que, pour tout
En déduire
En déduire
III - 3. Dans cette question,
Soit
Soit
III - 3.1.
Justifier l'existence de
III-3.2.
Pour tout
III - 3.3.
En déduire l'existence de
III - 3.4.
Conclure avec soin que :
III - 4. Un dernier exemple.
Pour tout
III - 4. Un dernier exemple.
Pour tout
III - 4.1.
Montrer que
III-4.2.
Grâce à III - 3.4., montrer que
III - 4.3.
Par une méthode similaire à celle de III - 3., montrer que :
En déduire