CCINP Mathématiques 2 PC 2011

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit la série de fonctions d'une variable réelle de terme général défini pour tout par : pour tout .

I.1.1. Montrer que converge simplement sur tout entier.

On note la somme de la série de fonctions .
I.1.2. Montrer que, pour tout converge normalement sur .

La série converge-t-elle normalement sur ?
I.1.3. Montrer que est continue sur .

I.2.1. Soit . Déterminer la primitive qui s'annule en 0 de la fonction .
I.2.2. Soit la suite de fonctions définie par :

Montrer que converge simplement sur .
I.2.3. On note la somme de la série de fonctions .

Montrer que est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction .
I.3. On considère la suite de fonctions polynômes sur définie par :

pour tout et pour tout .
Montrer que la suite converge simplement sur , lorsque tend vers , vers une fonction que l'on exprimera à l'aide de puis de .
Pour tout , la limite donnant sera alors notée : .

Pour tout , on note la fonction d'une variable réelle, périodique de période , telle que, pour tout , on ait : .

II.1.1. Préciser pourquoi est égale en tout point à la somme de sa série de Fourier :

II.1.2. Pour tout et tout , calculer .
II.1.3. Pour tout et tout , calculer . On distinguera les cas et .

II.2.1. En donnant à une valeur particulière dans la série de Fourier de , montrer que, pour tout .
II.2.2. A partir de et du résultat de II.2.1, donner à l'aide des fonctions usuelles une expression de la fonction définie à la question I.2.3.
II.2.3. En déduire que, pour tout , on a :

Soit la fonction définie sur par :

III.1.1. Soit . Montrer que la fonction admet, quand tend vers 0 par valeurs positives, une limite finie que l'on déterminera.
III.1.2. Montrer que, pour tout , la fonction est intégrable sur .

III.2.1 Montrer que possède des dérivées partielles par rapport à en tout point de et à tout ordre. Calculer, pour tout et tout . On distinguera les cas pair et impair.
III.2.2. Montrer que, pour tout et tout , la fonction est continue et intégrable sur .
III.3. Soit la fonction définie sur par : pour tout .

Montrer que est de classe sur et que, pour tout et tout ,
on a : et .

III.4.1. Montrer que, pour tout , on a : .
III.4.2. Montrer que, pour tout et tout , la fonction est intégrable sur et exprimer à l'aide de .
III.4.3. Pour tout , pour tout , pour tout , on pose : . Montrer que, pour tout et tout ,

Puis, montrer que : pour tout .
En déduire une expression simple de la fonction à l'aide de la fonction .