CCINP Mathématiques 2 PC 2005

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On considère l'équation différentielle linéaire du ordre en la fonction inconnue de la variable réelle :

où désigne un paramètre réel.
I.1. Etant donné , comparer les équations et .

On supposera dans la suite du problème que .

Dans la suite de cette partie, désigne une fonction de la variable réelle , admettant un développement en série entière au voisinage de 0 .
I.2. Montrer que, pour que soit solution de l'équation , il faut et il suffit que l'on ait pour tout :

I.3.1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que l'équation ( ) admette des solutions polynomiales de degré donné ?
I.3.2. Lorsque c'est le cas, montrer qu'il existe une unique solution polynomiale de de degré , que nous noterons , telle que .
I.3.3. Expliciter la fonction polynôme .
I.3.4. Déterminer les coefficients tels que :
.
En déduire la solution générale de l'équation ( ) sur .
I.4. On se place dans le cas où .
I.4.1. On suppose que est une solution non identiquement nulle de .

Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
I.4.2. Montrer qu'il existe une unique solution de , que nous noterons , développable en série entière de la variable sur et telle que .
I.4.3. Expliciter les développements en série entière de la variable des fonctions et .

Soit la fonction de la variable réelle définie par :

II.1. Montrer que est définie et continue sur .
II.2. Montrer que est indéfiniment dérivable sur .

II.3.1. Montrer que pour tout on a .
II.3.2. Montrer que est développable en série entière de la variable sur et que l'on a :

II.3.3. Pour tout on pose . Montrer que pour tout on a .
Calculer .
En déduire pour tout , ainsi que le développement de en série entière de la variable sur .
II.3.4. Montrer que pour tout , on a .
II.3.5. Montrer que le développement de en série entière est intégrable terme à terme sur , et en déduire que :

II.4. Déduire du développement de en série entière une expression de en fonction de et pour tout .
II.5. Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé , on considère l'ellipse paramétrée par , où et sont des nombres réels donnés tels que . On note sa longueur et son excentricité.
Montrer que .

Soit la fonction de la variable réelle définie par :

III.1. Montrer que est définie et continue sur , et -périodique.
III.2. Montrer que est de classe sur .
III.3. Montrer que la série de Fourier de est de la forme :

où sont des nombres réels que l'on ne cherchera pas à calculer. Préciser pourquoi la fonction est égale à la somme de sa série de Fourier.
III.4. A l'aide du résultat de la question II.3.5, donner une expression de sous forme de somme d'une série numérique.