N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené a prendre.

Pour tout , on note la fonction polynôme de la variable réelle définie par:

I. 1 Donner une expression explicite des fonctions polynômes .
I. 2 Exprimer en fonction de .
I. 3 Calculer et .
I. 4 En effectuant de deux façons différentes le calcul de , montrer que l'on a :

I. 5 Soit un nombre entier compris au sens large entre 0 et . Préciser l'ordre de multiplicité de +1 et -1 en tant que racines de la dérivée d'ordre de .

En appliquant le théorème de Rolle aux dérivées successives de , montrer que admet racines réelles distinctes, toutes comprises strictement entre -1 et +1 .

Soit la fonction de deux variables réelles définie par:

II. 1 Représenter graphiquement l'ensemble des couples en lesquels est définie.

Soit l'ensemble des couples tels que .
On admettra que l'on a sur un développement en série de de la forme :

où les fonctions sont de classe , et que les dérivées partielles de à tous les ordres, par rapport à l'ensemble des deux variables et , peuvent se calculer en dérivant terme à terme le deuxième membre de l'égalité .
II. 2 Représenter graphiquement l'ensemble .
II. 3 Calculer et pour tout .

II.4.1 Calculer .

En déduire que l'on a , et pour tout
II.4.2 Calculer .

En déduire que l'on a , et pour tout :

II.4.3 En dérivant les relations obtenues à la question précédente, montrer que l'on a, pour tout , la relation
II.4.4 Déduire de ce qui précède que l'on a pour tout :

Exprimer en fonction de pour tout .

On considère les fonctions et des deux variables réelles et définies pour et quelconque par :

III. 1 Pour fixé tel que , déterminer les développements en séries de Fourier de et de considérées comme fonctions de la variable . On montrera que .

A-t-on les égalités et pour tout couple appartenant à ?
III. 2 Déduire de la question précédente le développement en série de Fourier de considérée comme fonction de la variable , ainsi que le développement en série entière de considérée comme fonction de la variable .
III. 3 Montrer que pour tout on a , cette dernière fonction de étant supposée prolongée par continuité lorsque est multiple entier de .

Soit un nombre réel non entier relatif. On considère l'équation différentielle linéaire en la fonction inconnue de la variable réelle , à valeurs réelles :

On se propose de déterminer les solutions de développables en série entière au voisinage de 0 .
IV. 1 Soit la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul. Déterminer la relation qui doit lier et pour que soit solution de .
IV. 2 En déduire l'expression de pour tout .
IV. 3 Quel est le rayon de convergence des séries entières ainsi obtenues ?