L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée.

Pour tout nombre entier relatif , on définit la fonction de la variable réelle par :

(on ne cherchera pas à calculer cette intégrale)

I. 1 Montrer que est définie sur , paire si est pair et impaire si est impair.
I. 2 Exprimer en fonction de .

On supposera dorénavant que est un nombre entier positif ou nul.
I. 3 Montrer que est de classe sur .
I. 4 Montrer que l'on a .

En déduire que est solution de l'équation différentielle linéaire homogène :

II. 1 Montrer que pour tout et tout on a :

II. 2 Montrer que pour tout est développable en série entière de sur tout entier (on utilisera les développements en série entière des fonctions cosinus ou sinus, selon la parité de ).
II. 3 Soit un nombre entier naturel.
II.3.1 Calculer l'intégrale pour tout nombre entier supérieur ou égal à (on pourra exprimer comme combinaison linéaire des , avec et . Lorsque , montrer que cette intégrale est nulle pour tout nombre entier tel que .
En déduire les coefficients du développement en série entière de sur .
II.3.2 Calculer l'intégrale pour tout nombre entier supérieur ou égal à (on pourra exprimer comme combinaison linéaire des , avec et ). Lorsque , montrer que cette intégrale est nulle pour tout nombre entier tel que .
En déduire les coefficients du développement en série entière de sur .
II.3.3 A. On fixe . Exprimer en fonction des valeurs des les coefficients de Fourier des fonctions et de la variable . Ces deux fonctions sont-elles égales à la somme de leurs séries de Fourier?
B. En déduire la valeur des sommes , et .

On considère l'équation différentielle linéaire homogène :

où est un nombre réel donné.

III.1.1 Montrer que, pour que soit solution de sur , il faut et il suffit que soit solution de l'équation :

III.1.2 Dans le cas où , déterminer la solution générale de ( ) sur , et en déduire la solution générale de ( ) sur .
III.1.3 En déduire la solution générale de ( ) sur lorsque .

On se propose à présent de chercher les solutions de ( ) sur de la forme , où est la somme d'une série entière.
III. 2 On cherche les solutions de sur de la forme .
III.2.1 Etablir la relation qui doit exister pour tout entre et pour que soit solution de .

On suppose dorénavant que n'est pas un entier strictement négatif.
III.2.2 Montrer qu'il existe une unique solution de de la forme , et telle que . Calculer pour tout . Quel est le rayon de convergence de la série entière ?
III. 3 On définit sur la fonction .
III.3.1 On suppose que n'est pas un nombre entier.

Montrer que les fonctions et sont linéairement indépendantes.
En déduire la solution générale de ( ) sur .
III.3.2 Soit un nombre entier strictement positif.

Comparer à la fonction , définie au début du problème.
Vérifier que la fonction , définie par est solution de l'équation ( ).