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CCINP Mathématiques 2 MP 2024

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Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesRéductionInformatiqueAlgèbre généraleAlgèbre linéaire
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CCINP
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2024
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Maths
CCINP MPCCINP 2024MP MathsMaths 2024
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE 1

Q1. Justifier que la matrice est diagonalisable et déterminer une matrice telle que soit diagonale.
Q2. Application : On considère trois suites réelles , et telles que :
Pour tout , on pose et .
Pour tout , exprimer en fonction de et .
À quelle condition sur les suites et convergent-elles simultanément? Expliciter alors ces suites.

EXERCICE 2

Pour , on note le groupe des permutations de l'ensemble . Une permutation de sera représentée en Python par une liste, dont l'élément d'indice est l'image de par cette permutation. Par exemple, la liste représente la permutation définie par et .
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser librement les tests Python du type in (respectivement not in L) permettant de vérifier si est présent dans la liste (respectivement de vérifier si n'est pas présent dans la liste L ).
Q3. Si s est une liste Python représentant une permutation de , quelle instruction Python permet de trouver l'image de 1 par cette permutation ?
Quelle liste Python représente la transposition (23) ?
Q4. Écrire une fonction Python comp(s1, s2) prenant en entrée deux listes représentant des permutations et du même groupe de permutations et renvoyant la liste représentant la permutation .
Q5. Écrire une fonction Python inv (s) prenant en entrée une liste représentant une permutation et renvoyant la liste représentant .
Q6. On souhaite tester si un sous-ensemble de est ou non un sous-groupe de . Écrire une fonction Python groupe (G) prenant en entrée une liste de listes, où chaque sous-liste représente une permutation de et renvoyant True s'il s'agit bien d'un sous-groupe de , False sinon.
Q7. Écrire une fonction Python cyclique(s) prenant en entrée une liste s représentant une permutation de et renvoyant le sous-groupe de engendré par sous la forme d'une liste de listes.

PROBLÈME

Le but de ce problème est de démontrer et utiliser plusieurs critères pour prouver qu'une matrice symétrique réelle est définie positive. On rappelle que, pour un entier naturel non nul , une matrice symétrique est dite définie positive si et seulement si :
Q8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la matrice est définie positive.

Caractérisation spectrale

Q9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.
Q10. Application: Démontrer que le polynôme admet trois racines réelles distinctes (on ne cherchera pas à les déterminer).
Démontrer alors que la matrice est définie positive grâce à la caractérisation spectrale.

Un critère en dimension 2

Dans cette partie, on souhaite démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique est définie positive si et seulement si sa trace et son déterminant sont strictement positifs.
Q11. Démontrer qu'une matrice définie positive de taille quelconque vérifie toujours et .
Q12. Démontrer qu'une matrice symétrique , dont la trace et le déterminant sont strictement positifs, est définie positive.
Q13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices symétriques de ?
Q14. Application: Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que définie par admet un extremum local. Préciser s'il s'agit d'un minimum local ou d'un maximum local.

Le critère de Sylvester

Dans cette partie, on étudie le critère de Sylvester, valable en toute dimension.
Pour une matrice carrée quelconque et un entier , on définit le
-ième mineur principal comme étant le déterminant de la matrice . On précise qu'une matrice carrée de taille possède mineurs principaux.
Par exemple, les trois mineurs principaux de la matrice de la question Q10. sont les déterminants des matrices et .
On dit qu'une matrice vérifie le critère de Sylvester si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs. On souhaite alors démontrer la caractérisation suivante :
Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si elle vérifie le critère de Sylvester.
Par exemple, pour la matrice de la question Q10., on constate que:
La matrice vérifie le critère de Sylvester, elle est donc définie positive.
Q15. On fixe une matrice , un entier , ainsi qu'un vecteur colonne . Déterminer un vecteur colonne , tel que :
Q16. Démontrer que toute matrice symétrique réelle définie positive vérifie le critère de Sylvester.
Dans les deux questions suivantes, il s'agit de démontrer la réciproque, c'est-à-dire que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive. Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la taille de la matrice.
Q17. Soit et soit une matrice symétrique telle que . On écrit cette matrice par blocs sous la forme suivante :
On suppose que la matrice est définie positive.
Justifier l'existence d'un vecteur colonne tel que .
En notant , démontrer alors que s'écrit par blocs avec .
Q18. Démontrer par récurrence que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive.
Q19. Pour quelles valeurs de la matrice est-elle définie positive ?
Q20. La matrice est-elle définie positive ? Justifier.
Q21. Démontrer que pour tout :
Q22. Pour quelles valeurs de la matrice est-elle définie positive ?

FIN

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