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CCINP Mathématiques 2 MP 2020

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleRéductionAlgèbre linéaireNombres complexes et trigonométrie, calculs, outils
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CCINP
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2020
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Maths
CCINP MPCCINP 2020MP MathsMaths 2020
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 2

Mardi 5 mai : 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE I

Dans cet exercice, il est inutile de reproduire tous les calculs sur la copie.
On considère la matrice .
Q1. Justifier, sans calcul, que la matrice est diagonalisable puis déterminer une matrice diagonale réelle et une matrice telles que .
Q2. Déterminer une matrice de , que l'on explicitera, vérifiant .
Q3. Déterminer, pour tout entier naturel non nul , les 9 coefficients de la matrice en utilisant la matrice de passage .
Q4. Donner le polynôme minimal de la matrice et en déduire, à l'aide d'une division euclidienne de polynômes, la matrice comme une combinaison linéaire des matrices et .

EXERCICE II

On considère l'espace vectoriel normé .
On note l'ensemble des matrices inversibles de .
On pourra utiliser librement dans cet exercice que l'application déterminant est continue sur .
Q5. L'ensemble est-il fermé dans ?
Q6. Démontrer que l'ensemble est ouvert dans .
Q7. Soit un élément de , justifier que :
Démontrer que l'ensemble est dense dans .
Q8. Application
Si et sont deux matrices de , démontrer que les matrices et ont le même polynôme caractéristique.
À l'aide des matrices et , prouver que le résultat n'est pas vrai pour les polynômes minimaux.
Q9. Démontrer que n'est pas connexe par arcs.
On rappelle que l'image d'une partie connexe par arcs par une application continue est une partie connexe par arcs.

PROBLÈME

Dans ce problème, est un espace vectoriel euclidien muni d'un produit scalaire que l'on notera de norme associée .
Un endomorphisme de est une similitude de lorsqu'il existe un réel tel que pour tout vecteur de . On dira que est la similitude de rapport .
On notera , l'ensemble des similitudes de .
O( ) désigne l'ensemble des automorphismes orthogonaux de .
L'objectif de ce problème est de définir et de caractériser les similitudes d'un espace euclidien.

Partie I - Exemples, propriétés

Q10. Démontrer que la matrice est, dans la base canonique de , la matrice d'une similitude dont on précisera le rapport.
Q11. Interprétation géométrique avec la similitude de la question précédente.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé .
On considère les trois points et on définit les points par les relations .
Représenter les triangles et et comparer leurs aires.
Q12. Démontrer que tout élément de est bijectif et établir que , muni de la loi de composition, est un groupe.
Q13. Soient un endomorphisme de une base orthonormée de et la matrice de dans la base .
Démontrer que est un automorphisme orthogonal de , si et seulement si, .
Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapport .
Q14. Exemple
Démontrer que la matrice est la matrice dans la base canonique de d'une similitude dont on donnera le rapport. Donner la matrice de la similitude . Vérifier que, pour tout élément de .
Q15. On appelle sphère de centre 0 et de rayon , l'ensemble des vecteurs de tels que . Démontrer que si est un endomorphisme de tel que l'image par de toute sphère de de centre 0 est une sphère de de centre 0 , alors est une similitude de .
On pourra remarquer que pour vecteur non nul, .

Partie II - Assertions équivalentes

Q16. On rappelle qu'une homothétie vectorielle de est une application de la forme .
Démontrer que , si et seulement si, est la composée d'une homothétie vectorielle non nulle de et d'un élément de .

Q17. Exemple

Écrire la matrice comme produit de la matrice d'une homothétie vectorielle et de la matrice d'un automorphisme orthogonal de dont on précisera la nature.
Q18. Démontrer que : .
En déduire que est une similitude de rapport , si et seulement si , .
Q19. Démontrer que, si est une similitude de rapport , alors, pour tout couple de vecteurs de .
On dit que l'endomorphisme conserve l'orthogonalité.
Réciproquement, on suppose que est un endomorphisme de conservant l'orthogonalité.
Soit ( ) une base orthonormée de . Démontrer que :
, puis que: .
On note la valeur commune prise par tous les .
Après avoir justifié que, pour tout démontrer que est une similitude de rapport .
Q20. Soit une application de dans (non supposée linéaire) telle qu'il existe un réel pour lequel: .
Démontrer que est un endomorphisme de , puis que est une similitude de .

FIN

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