CCINP Mathématiques 2 MP 2019

Jeudi 2 mai : 8 h - 12 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

Dans cet exercice "Algorithme de décomposition primaire d'un entier" (Informatique pour tous), on se propose d'écrire un algorithme pour décomposer un entier en produit de nombres premiers. Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.

On définit la valuation -adique pour nombre premier et entier naturel non nul. Si divise , on note le plus grand entier tel que divise . Si ne divise pas , on pose . L'entier s'appelle la valuation -adique de .

Q1. Écrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie le booléen True si est premier et le booléen False sinon. On pourra utiliser le critère suivant : un entier qui n'est divisible par aucun entier tel que , est premier.

Q2. En déduire une fonction liste_premiers (n) qui prend en argument un entier naturel non nul et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à .

Q3. Pour calculer la valuation 2-adique de 40 , on peut utiliser la méthode suivante :

La valuation 2 -adique de 40 vaut donc 3 .
Écrire une fonction valuation_p_adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel non nul et un nombre premier et renvoie la valuation -adique de . Par exemple, puisque , valuation_p_adique renvoie 3 , valuation_p_adique renvoie 1 et valuation_p_adique renvoie 0 .

Q4. Écrire une deuxième fonction cette fois-ci récursive, val ( ) qui renvoie la valuation -adique de .

Q5. En déduire une fonction decomposition_facteurs_premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d'un entier .
Cette fonction doit renvoyer la liste des couples ( ) pour tous les nombres premiers qui divisent .
Par exemple, decomposition_facteurs_premiers(40) renvoie la liste [[2, 3], .

Soit un espace euclidien muni d'un produit scalaire noté ,
On note .
Q6. Un endomorphisme de vérifiant, pour tout vecteur , est-il nécessairement l'endomorphisme nul?

Q7. Étant donné un endomorphisme de , on admet qu'il existe un unique endomorphisme de vérifiant : .

Démontrer l'équivalence des trois propriétés suivantes :
i. .
ii. .
iii. .

On pourra, par exemple, successivement prouver les implications :
, ii , iii et ii .

On s'intéresse dans ce problème, à travers divers exemples, à quelques méthodes pour prouver que deux matrices sont semblables.
Par la suite, désigne un entier naturel, .

Q8. Justifier que deux matrices de qui sont semblables ont la même trace, le même rang, le même déterminant et le même polynôme caractéristique.

Q9. On donne deux matrices :
et .
Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même rang et le même polynôme caractéristique.
Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que l'une de ces matrices est diagonalisable).
Ont-elles le même polynôme minimal ?
Q10. On donne deux matrices :
et .

Établir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes :
première méthode: en utilisant l'endomorphisme associé à dans une base ( ) d'un espace vectoriel et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de ; deuxième méthode: en prouvant que le polynôme admet trois racines réelles distinctes (que l'on ne cherchera pas à déterminer) notées et .

Q11. Démontrer que toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice :

On pourra utiliser l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice .
Q12. Application: soit un espace vectoriel de dimension et un endomorphisme de de rang 1 vérifiant иои , démontrer que est diagonalisable.
On pourra calculer .
Q13. Démontrer qu'une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas nécessairement diagonalisable.

Q14. On donne une matrice où et sont deux nombres complexes non nuls, différents et non opposés.
Déterminer le rang de la matrice et en déduire que 0 est valeur propre de .
Justifier que et sont aussi valeurs propres de .
Préciser une base de vecteurs propres de .
Dans cette question, il est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique de la matrice .
Q15. Démontrer que quels que soient les réels non nuls et le réel , les matrices et sont semblables.

On se propose de démontrer que deux matrices de qui sont semblables dans sont semblables dans .
Soient et deux matrices de semblables dans , il existe une matrice inversible à coefficients complexes telle que . Écrivons où et sont deux matrices à coefficients réels.

Q16. Démontrer que et .
Q17. Justifier que la fonction est une fonction polynomiale non identiquement nulle et en déduire qu'il existe un réel tel que la matrice soit inversible.

Q18. Conclure que les matrices et sont semblables dans .

Q19. Application : démontrer que toute matrice de de polynôme caractéristique est semblable à la matrice .

On s'intéresse dans cette question à la proposition :
«Deux matrices de ayant à la fois le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal sont semblables dans .

Q20. En étudiant les différentes valeurs possibles pour le polynôme caractéristique et le même polynôme minimal, démontrer que la proposition est vraie pour .

On admet qu'elle l'est également pour .
Q21. Démontrer que la proposition est fausse pour . On pourra fournir deux matrices composées uniquement de 0 et de 1 .