CCINP Mathématiques 2 MP 2016

Jeudi 5 mai:
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code. Cet exercice étudie deux algorithmes permettant le calcul du pgcd (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels.
I.1. Pour calculer le pgcd de 3705 et 513, on peut passer en revue tous les entiers puis renvoyer parmi ces entiers le dernier qui divise à la fois 3705 et 513 . Il sera alors bien le plus grand des diviseurs communs à 3705 et 513 . Écrire une fonction gcd qui renvoie le pgcd de deux entiers naturels non nuls, selon la méthode décrite ci-dessus. On pourra éventuellement utiliser librement l'instruction min ( ) qui calcule le minimum de et . Par exemple , 513 renverra 57.
I.2. L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer le pgcd. Voici une fonction Python nommée euclide qui implémente l'algorithme d'Euclide.

def euclide(a,b):
    """Donn\'ees: a et b deux entiers naturels
        R\'esultat: le pgcd de a et b, calcul\'e par l'algorithme d'Euclide"""
    u = a
    v = b
    while v != 0:
        r = u % v
        u = v
        v = r
    return u

Écrire une fonction «récursive» euclide_rec qui calcule le pgcd de deux entiers naturels selon l'algorithme d'Euclide.
I.3. On note la suite des nombres de Fibonacci définie par:

I.3.a. Écrire les divisions euclidiennes successivement effectuées lorsque l'on calcule le pgcd de et avec la fonction euclide.
I.3.b. Soit un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de par ? On pourra utiliser librement que la suite est strictement croissante à partir de . En déduire, sans démonstration, le nombre de divisions euclidiennes effectuées lorsque l'on calcule le pgcd de et avec la fonction euclide.
I.3.c. Comparer pour au voisinage de , ce nombre , avec le nombre de divisions euclidiennes effectuées pour le calcul du pgcd de et par la fonction gcd. On pourra utiliser librement que est équivalent, au voisinage de , à où est le nombre d'or.
I.4. Écrire une fonction fibo qui prend en argument un entier naturel et renvoie le nombre de Fibonacci . Par exemple, fibo (6) renverra 8.
I.5. En utilisant la fonction euclide, écrire une fonction gcd_trois qui renvoie le pgcd de trois entiers naturels. Par exemple, gcd_trois renverra 6.

Pour tout entier naturel non nul , on note l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients dans le corps .

Dans cet exercice, est une matrice de telle que .
II.1. Démontrer que les valeurs propres complexes de prennent au maximum trois valeurs distinctes que l'on précisera.
II.2. Justifier que est diagonalisable dans .
II.3. Démontrer que si est inversible alors .

Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La deuxième partie étudie un exemple d'interpolation de Hermite et la troisième partie quelques propriétés d'une famille de polynômes qui portent le nom de ce même mathématicien.

On note l'algèbre des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à . On note le corps des fractions rationnelles à coefficients réels.

Pour tout polynôme , on note le polynôme dérivé de et, pour tout entier naturel , on note le -ième polynôme dérivé de . Pour tout entier naturel non nul , on note l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.

Soit un entier naturel non nul.
III.1. Soit et deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
III.1.a. Démontrer que si et n'ont aucune racine complexe commune, alors et sont premiers entre eux (on pourra raisonner par l'absurde).
III.1.b. On suppose que et sont premiers entre eux. En utilisant le théorème de Gauss, démontrer que si et divisent un troisième polynôme à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme .
III.2. Soit une famille de polynômes non nuls de . On considère le polynôme et la fraction rationnelle définis par et .

Démontrer par récurrence que .

Soit un intervalle non vide de un entier naturel non nul, une famille d'éléments de distincts deux à deux et et deux familles de réels quelconques.

III.3.a. Soit et . En utilisant la formule de Taylor, démontrer que :

III.3.b. En utilisant la question préliminaire III.1, démontrer que l'application de vers définie par

est une application linéaire bijective de sur .
III.3.c. Démontrer qu'il existe un unique polynôme tel que, pour tout entier vérifiant , on a et .
Le polynôme est appelé polynôme d'interpolation de Hermite.

Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite (défini à la question III.3) lorsque , et (si, au cours de ses calculs, le candidat a besoin d'inverser une matrice, il pourra le faire sans justification à l'aide de sa calculatrice).

Pour tout entier tel que , on considère le polynôme .
III.5.a. Soit un entier vérifiant . Calculer pour tout entier tel que et démontrer qu'on a

On pourra utiliser la question préliminaire III.2.
III.5.b. Démontrer que le polynôme défini par la formule

est le polynôme d'interpolation de Hermite défini à la question III.3.
III.5.c. Retrouver le polynôme de la question III. 4 en utilisant cette formule.

Soit la famille de polynômes définie par et, pour tout .
III.6. Démontrer que, pour tout est un polynôme unitaire de degré .
III.7. Démontrer que, pour tout .

Pour tous polynômes et à coefficients réels, on pose

la fonction étant définie sur par . On rappelle que .

III.8.a. Justifier, pour tous polynômes et dans , l'existence de l'intégrale qui définit .
III.8.b. Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .

Dans la suite, est muni de ce produit scalaire et de la norme associée notée .
III.9.a. Démontrer que, pour tout et pour tout .
III.9.b. En déduire que, pour tout , la famille ( ) est une base orthogonale de .
III.9.c. Calculer pour tout .
III.9.d. Soit . Préciser les polynômes et puis déterminer quatre réels tels que . En déduire la distance du polynôme au sous-espace des polynômes constants, c'est-à-dire la borne inférieure de quand décrit .

Soit . On note le nombre de racines réelles (distinctes) d'ordre impair du polynôme , ses racines et le polynôme défini par

III.10.a. Démontrer que, si , alors .
III.10.b. Démontrer que, pour tout .
III.10.c. En déduire que a racines réelles distinctes.

IMPRIMERIE NATIONALE - 161214 - D'après documents fournis