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CCINP Mathématiques 2 MP 2015

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionInformatiqueAlgèbre linéaireTopologie/EVN
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CCINP
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2015
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2015MP MathsMaths 2015
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE I. INFORMATIQUE

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.
Voici, par exemple, un code Python attendu si l'on demande d'écrire une fonction nommée maxi qui calcule le plus grand élément d'un tableau d'entiers :
def maxi(t):
    """Données: t un tableau d'entiers non vide
        Résultat: le maximum des éléments de t"""
    n =len(t) # la longueur du tableau t
    maximum = t[0]
    for k in range(1,n):
        if t[k] > maximum:
            maximum = t[k]
    return maximum
L'instruction maxi ( ) renverra alors 6.
I.1. Donner la décomposition binaire (en base 2) de l'entier 21.
On considère la fonction mystere suivante:
def mystere(n, b):
    """Données: n > 0 un entier et b > 0 un entier
        Résultat: ......."""
    t = [] # tableau vide
    while n > 0:
        c = n % b
        t.append(c)
        n = n // b
    return t
On rappelle que la méthode append rajoute un élément en fin de liste. Si l'on choisit par exemple , alors, après avoir exécuté .append (12), la liste a pour valeur .
Pour , on note et les valeurs prises par les variables c , t et n à la sortie de la -ème itération de la boucle "while".
I.2. Quelle valeur est renvoyée lorsque l'on exécute mystere ?
On recopiera et complétera le tableau suivant, en ajoutant les éventuelles colonnes nécessaires pour tracer entièrement l'exécution.
1 2
I.3. Soit un entier. On exécute mystere ( ). On pose .
I.3.a. Justifier la terminaison de la boucle while.
I.3.b. On note le nombre d'itérations lors de l'exécution de mystere(n, 10). Justifier que pour tout , on a . En déduire, une majoration de en fonction de .
I.4. En s'aidant du script de la fonction mystere, écrire une fonction somme_chiffres qui prend en argument un entier naturel et renvoie la somme de ses chiffres. Par exemple, somme_chiffres (256) devra renvoyer 13.
I.5. Ecrire une version récursive de la fonction somme_chiffres, on la nommera somme_rec.

EXERCICE II. PROJECTION ORTHOGONALE

On considère l'espace vectoriel euclidien des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels muni du produit scalaire canonique défini pour et matrices de par: .
II.1. Si et sont deux matrices de , que vaut le réel ?
II.2. On note le sous-espace vectoriel formé des matrices triangulaires supérieures de . Donner, pour le produit scalaire canonique, une base orthonormée de et de son orthogonal .
II.3. Si , déterminer le projeté orthogonal de la matrice sur , ainsi que la distance de la matrice à .

PROBLEME III.

SURJECTIVITE DE L'APPLICATION EXPONENTIELLE DE VERS GL

On note, pour entier l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes.
On notera pour indiquer que : et .

Partie préliminaire

Une norme . est une norme d'algèbre si elle vérifie la propriété :
pour tout couple de matrices de .
III.1. On note pour élément de et .
L'application . . Démontrer que c'est une norme d'algèbre.
Dans la suite de cette partie préliminaire, on munit de cette norme d'algèbre.
III.2. Justifier simplement qu'une série de vecteurs de absolument convergente est convergente.
III.3. Si est une matrice de , établir que la série de réels positifs converge et en déduire que la série de matrices converge.
Si est une matrice de , on notera , exponentielle de la matrice .

Première partie

On pourra utiliser librement le résultat suivant:
si est une matrice triangulaire de dont les éléments diagonaux sont , alors la matrice est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont .
III.4. Si est une matrice de , rappeler pourquoi la matrice est trigonalisable et déterminer une relation entre et .
III.5. Soit la matrice .
Donner le déterminant de la matrice . En déduire qu'il n'existe aucune matrice à coefficients réels vérifiant et qu'il n'existe aucune matrice à coefficients réels vérifiant .

Objectifs et exemple

Ce paragraphe ne comporte aucune question, il permet de se familiariser avec les objectifs du problème.
Si est une matrice carrée inversible à coefficients réels, nous allons démontrer dans ce problème :
  • que pour tout entier naturel non nul , il existe une matrice de vérifiant ,
  • qu'il existe une matrice de vérifiant .
On se limitera dans ce sujet aux matrices carrées de taille 3 .
Le problème a pour objectif de prouver l'existence de ces matrices et de les expliciter.
On commence par un exemple développé dont le candidat pourra s'inspirer notamment pour la troisième partie.
On utilise toujours la matrice .
Le polynôme caractéristique de la matrice est .
On cherche le reste dans la division euclidienne du polynôme par le polynôme de la forme où et vont dépendre de .
Pour cela on remplace dans la relation par -3 , puis par 2. Ensuite, on dérive cette expression et on remplace à nouveau par 2 ( est le quotient).
On obtient le système suivant
admettant pour unique solution .
On déduit du théorème de Cayley-Hamilton que pour tout entier naturel ,
On pose alors, pour tout réel , la matrice :
.
On a les résultats suivants :
  • ,
  • pour tout entier naturel non nul : ,
  • .
Par exemple,

vérifie .

Deuxième partie

On notera l'espace vectoriel sur le corps des applications de dans combinaisons linéaires d'applications du type où et .
(Rappel : pour .)

III.6.

III.6.a. Déterminer un élément de vérifiant pour tout entier naturel , si et sont deux constantes complexes.
III.6.b. Si est un élément de et si est un réel, expliquer pourquoi est encore un élément de .

III.7.

III.7.a. Soit un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes converge vers 0.
III.7.b. Soit et , .
Démontrer que si et sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel ,
, alors .
On pourra, par exemple, supposer et commencer par examiner les cas et .
III.7.c. On admet alors que si est un élément de vérifiant pour tout entier naturel , alors est l'application nulle.
Que peut-on dire de deux applications et de vérifiant pour tout entier naturel ?
III.8. Dans la suite de cette partie, est une matrice inversible de .
Expliquer pourquoi on peut trouver 9 applications éléments de telles que, pour tout entier naturel .
Discuter en fonction du nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice .
On ne demande pas de résoudre des systèmes, une explication de la méthode pourra suffire.
III.9. On pose pour tout réel , la matrice .
III.9.a. Quelles sont les matrices et ?
III.9.b. Justifier que, pour tout couple d'entiers naturels , on a la relation:
III.9.c. Pour réel et entier naturel, on pose et .
Démontrer que l'on a et en déduire, pour tout entier naturel , la relation .
III.9.d. En déduire que, pour tout couple de réels, .
III.10. Démontrer que et que, pour tout entier naturel non nul, .
III.11. Justifier que l'application définie pour tout réel par est dérivable sur et que la fonction est une solution de l'équation différentielle
é
où la fonction inconnue vérifie, pour tout réel .
Trouver la solution sur de l'équation différentielle vérifiant et en déduire que l'on a: .

Troisième partie : exemple

Soit la matrice .
III.12. Donner le polynôme caractéristique de la matrice .
La matrice est-elle diagonalisable?
III.13. Déterminer, par la méthode développée dans ce problème, les éléments suivants :
III.13.a. La matrice .
III.13.b. Une matrice de vérifiant .
III.13.c. Une matrice de vérifiant .

Fin de l'énoncé

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