CCINP Mathématiques 2 MP 2014

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

Soit les suites réelles et définies par :

I.1.a Justifier sans calcul que la matrice est diagonalisable.
I.1.b Diagonaliser la matrice .
I.1.c Déterminer la matrice pour tout . On pourra utiliser la calculatrice.
I.2. Expliciter les termes et en fonction de .

Soit un entier supérieur à 2 et un espace vectoriel sur de dimension . On appelle projecteur de , tout endomorphisme de vérifiant .
II.1. Soit un projecteur de .
II.1.a Démontrer que les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires dans .
II.1.b En déduire que la trace de (notée ) est égale au rang de (noté ).
II.1.c Un endomorphisme de vérifiant est-il nécessairement un projecteur de ?
II.2. Donner un exemple de deux matrices et de de rang 1 telles que soit diagonalisable et ne soit pas diagonalisable. Justifier la réponse.
II.3. Soit un endomorphisme de de rang 1 .
II.3.a Démontrer qu'il existe une base de telle que la matrice de dans soit de la forme :

II.3.b Démontrer que est diagonalisable si, et seulement si, la trace de est non nulle.
II.3.c On suppose que . Démontrer que est un projecteur.
II.3.d Soit la matrice . Démontrer que est la matrice d'un projecteur de dont on déterminera l'image et le noyau.

Soit un entier supérieur à 1 . On désigne par diag la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont les réels dans cet ordre. Si , on note sa transposée.
On munit l'espace vectoriel du produit scalaire canonique noté et de la norme euclidienne associée. On note le sous-espace des endomorphismes symétriques de , c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes de vérifiant :

Un endomorphisme symétrique de est dit symétrique positif (respectivement symétrique défini positif) si :

Une matrice symétrique de est dite symétrique positive (respectivement symétrique définie positive) si :

On note (respectivement ) l'ensemble des matrices symétriques positives (respectivement symétriques définies positives) de .

On rappelle qu'un endomorphisme de est symétrique (respectivement symétrique positif, symétrique défini positif) si, et seulement si, sa matrice dans toute base orthonormée de est symétrique (respectivement symétrique positive, symétrique définie positive).

On admet que, pour tous réels positifs ,

On se donne une matrice de (ou ) et on étudie le maximum (ou minimum) de la forme linéaire sur des ensembles de matrices.

III.1.a Enoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des endomorphismes symétriques de l'espace euclidien et sa version relative aux matrices symétriques réelles.
III.1.b Toute matrice symétrique à coefficients complexes est-elle nécessairement diagonalisable? On pourra par exemple considérer la matrice de :

III.2. Soit , de valeurs propres (réelles) rangées dans l'ordre croissant :

Soit une base orthonormée de E telle que, pour tout est un vecteur propre associé à la valeur propre . Pour tout vecteur de , on pose :

III.2.a Exprimer à l'aide des et des coordonnées de dans la base .
III.2.b En déduire l'inclusion : où désigne la sphère unité de .

III.3.a On suppose dans cette question que est symétrique positif (respectivement symétrique défini positif). Démontrer que les valeurs propres de sont toutes positives (respectivement strictement positives).
III.3.b Soit , de valeurs propres rangées dans l'ordre croissant :

On note l'endomorphisme de représenté par dans la base canonique . Exprimer le terme général de comme un produit scalaire et démontrer que :

On note la matrice unité de et le groupe des matrices orthogonales de .
III.4. Démontrer que l'application est continue de dans .
III.5. Justifier que, si est une matrice orthogonale, alors :

III.6. En déduire que le groupe orthogonal est une partie compacte de .
III.7. Soit , de valeurs propres (positives) . On pose . Si est une matrice orthogonale, on note le nombre réel .
III.7.a Soit . Démontrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que :

III.7.b Démontrer que l'application de dans admet un maximum sur , que l'on notera .
III.7.c Démontrer que, pour toute matrice orthogonale de , puis déterminer le réel .

Soit , de valeurs propres (réelles positives) rangées dans l'ordre croissant :

III.8. Démontrer l'inégalité valable pour tout :

III.9. Soit et . Démontrer que et calculer .
III.10. Dans cette question, on suppose que les coefficients diagonaux de sont strictement positifs et, pour , on pose . En utilisant l'inégalité (*), démontrer que :

III.11. Pour tout réel , on pose . Démontrer que , puis conclure que :

Soit , de valeurs propres , et . Soit telle que . On désigne par l'ensemble des matrices de de déterminant égal à 1 .
III.12. Démontrer que, pour tout , la matrice est une matrice de vérifiant :

III.13. Démontrer que , puis que ces ensembles admettent une borne inférieure que l'on notera .
III.14. Démontrer que, si :

III.15. En déduire que, pour .
III.16. Pour tout entier tel que , on pose et . Déterminer le réel .