N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et donner directement la réponse sur la copie.

Ce sujet est composé d'un exercice et d'un probléme qui sont indépendants.

Exercice Commutant d'une matrice

Pour

, on note

le commutant de la matrice

Démontrer que pour , est un espace vectoriel.
Démontrer, en détaillant, que la matrice est semblable à la matrice . Pour cela, on donnera une matrice de passage que l'on notera .
Déterminer le commutant de la matrice . Déterminer sa dimension.
Démontrer que l'application est un automorphisme d'espaces vectoriels de .
Que peut-on en déduire pour la dimension de ?
(a) Existe-t-il un polynôme annulateur de de degré inférieur ou égal à 2 ?
(b) Démontrer alors que .
(c) En déduire que est l'ensemble des polynômes en .

Ce résultat reste-t-il vrai pour toute matrice

Problème Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques

Dans ce problème, on note pour

entier naturel non nul :

l'ensemble des matrices symétriques de ,
l'ensemble des matrices symétriques positives de ,
l'ensemble des matrices symétriques définies positives de .

On admet que si

sont

réels positifs,

Question préliminaire

On rappelle qu'une matrice

appartient à

, si

appartient à

et si, pour toute matrice

, on a

.
Démontrer qu'une matrice

est élément de

si et seulement si toutes les valeurs propres de

sont positives.

Partie I

Soit . Démontrer que trace .
Application : soit .
(a) Démontrer que .
(b) Si , en déduire l'inégalité .

Partie II : Théorème de réduction simultanée

On se donne deux matrices et . On note la base canonique de et, dans cette base, est la matrice d'un produit scalaire . On note l'espace euclidien . Soit une base orthonormée de et la matrice de passage de la base vers la base .
(a) Justifier que .
(b) On note , justifier qu'il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale telle que .
(c) Déterminer, en fonction des matrices et , une matrice inversible telle que :

é è é é

(d) Dans cette question, on prend l'exemple de la matrice

Démontrer qu'une matrice inversible

telle que la matrice

soit diagonale n'est pas nécessairement une matrice orthogonale.
On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à la matrice

.
5. Démontrer l'inégalité «

dans les deux cas suivants :
(a)

, en utilisant le théorème de réduction simultanée. On pourra remarquer ici que, avec tous les

.
(b)

, en démontrant d'abord que

et en considérant les cas où les matrices sont dans

sans être dans

.
6. Soient

deux matrices de

. On note

une matrice inversible et

une matrice diagonale dans le théorème de réduction simultanée.
(a) Exprimer

en fonction

et les

.
(b) En utilisant la fonction ln, démontrer que pour tout

entier compris entre 1 et

.
(c) Démontrer que

.
7. Si

est une matrice de

une matrice de

, on démontre de même par le théorème de réduction simultanée (par la convexité de la fonction

) le résultat suivant qui est admis :

(a) Démontrer que

est dense dans

.
(b) Démontrer l'inégalité ci-dessus pour

deux matrices de

Partie III : Théorème de Choleski

Si est une matrice de , il est possible, par le procédé d'orthonormalisation de Schmidt, de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible à coefficients diagonaux positifs , vérifiant (décomposition de Choleski).
On ne demande pas de prouver ce résultat.
(a) On se propose de démontrer que cette matrice est unique.

Si on pose

, démontrer que

et conclure.
On pourra admettre que si

est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles de

, (

,.) est un groupe.
(b) Exemple : si

, où pour tout couple

d'entiers compris entre 1 et

, donner la décomposition de Choleski de la matrice

.
On ne demande pas de vérifier que

est une matrice de

.
9. Un peu d'informatique

Pour une matrice

, écrire un algorithme en français permettant de trouver la matrice

de la décomposition de Choleski.
Entrer cet algorithme dans la calculatrice (on ne demande pas le programme sur la copie) puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice

Inégalité d'Hadamard
(a) Soit , démontrer que .
(b) Application : démontrer que pour toute matrice inversible , .