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CCINP Mathématiques 2 MP 2010

Quelques utilisations des projecteurs

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsRéductionTopologie/EVN
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CCINP
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2010
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MP
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Maths
CCINP MPCCINP 2010MP MathsMaths 2010
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MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS

Notations et objectifs :
Dans tout le texte désigne un -espace vectoriel de dimension finie . On note id l'endomorphisme identité de le -espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille .
Si et sont des sous-espaces vectoriels de supplémentaires, c'est-à-dire , on appelle projecteur sur parallèlement à l'endomorphisme de qui, à un vecteur de se décomposant comme , avec , associe le vecteur .
On rappelle que si est une matrice de , la matrice exponentielle de est la matrice :
De même si est un endomorphisme de , l'exponentielle de est l'endomorphisme :
Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d'exponentielle de matrice à l'aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable. Dans la dernière partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances à des parties.
Les quatre parties sont indépendantes.

I. Questions préliminaires

  1. Soit les matrices et .
Calculer et (pour , on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh).
2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices et de vérifient l'égalité .

II. Un calcul d'exponentielle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable

Soit une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont :
où désigne un entier vérifiant .
3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
On considère l'application linéaire de dans définie par :
Déterminer le noyau de , puis en déduire qu'il existe un unique polynôme de tel que pour tout .
4. Pour , on définit le polynôme de par :
(a) Calculer selon les valeurs de et dans .
(b) En déduire une expression du polynôme comme une combinaison linéaire des polynômes avec .
5. Une propriété de l'exponentielle : soit une matrice inversible de et une matrice de .
(a) Justifier que l'endomorphisme de défini par est une application continue.
(b) En déduire que :
  1. Déduire des questions 3. et 5. que .
  2. On suppose que est munie d'une base et on désigne par l'endomorphisme de dont la matrice par rapport à est . Soit une valeur propre de , et un vecteur propre associé. Démontrer que pour tout polynôme , on a :
  1. Soit , on note le sous-espace propre de associé à .
    (a) Démontrer que l'endomorphisme de est le projecteur sur , parallèlement à (on dit que les sont les projecteurs spectraux de ).


    (b) En déduire une expression de comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs.

III. Un calcul d'exponentielle de matrice à l'aide des projecteurs spectraux, cas non diagonalisable

Soit un endomorphisme de dont le polynôme minimal est .
9. L'endomorphisme est-il diagonalisable? Justifier la réponse.
10. Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de dont l'endomorphisme canoniquement associé a pour polynôme minimal .
11. Démontrer, sans aucun calcul, que .
12. On considère les endomorphismes de et . Calculer .
13. Démontrer que l'endomorphisme est le projecteur sur , parallèlement à . Que dire de l'endomorphisme ?
14. Soit un élément de .
(a) Préciser .
(b) Déterminer un nombre réel tel que pour tout entier naturel .
(c) En déduire que où est un réel à déterminer.
15. Que vaut pour tout entier ?
Démontrer que où est un réel à déterminer (on pourra écrire en justifiant que .
16. Écrire enfin l'endomorphisme comme un polynôme en .

IV. Calcul de distances à l'aide de projecteurs orthogonaux

Dans cette partie, on suppose en plus que l'espace est muni d'un produit scalaire , ce qui lui confère une structure d'espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notée , est définie par :
Si est un sous-espace vectoriel de , on note son orthogonal, et on appelle projecteur orthogonal sur , noté le projecteur sur , parallèlement à .
Enfin, si est un vecteur de , la distance euclidienne de à , notée est le réel :
  1. Théorème de la projection orthogonale : soit un sous-espace vectoriel de et un vecteur de . Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer à l'aide du vecteur .
  2. Cas des hyperplans : soit un vecteur non nul de et l'hyperplan de orthogonal à , c'est à dire . Exprimer pour , la distance en fonction de et de .
  3. Une application : dans cette question uniquement, muni de son produit scalaire canonique : si et sont dans , en notant Tr la trace,
Enfin on note l'ensemble des matrices de dont la trace est nulle.
(a) Justifier que est un hyperplan de et déterminer .
(b) Si est une matrice de , déterminer la distance .
20. Et pour une norme non euclidienne? Dans cette question est muni de la norme infinie notée : si . On pose et . Déterminer la distance «infinie» du vecteur à , c'est-à-dire le réel :
et préciser l'ensemble des vecteurs pour lesquels cette distance est atteinte, c'est-à-dire . Commenter.

Fin de l'énoncé

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